【三维设计】2013届高考数学一轮复习 热点难点突破 不拉分系列（九）由题定法，解开数列中探索性问题的神秘面纱 新人教版

【三维设计】2013届高考数学一轮复习的热点难点是探索性问题，特别是针对数列中的此类问题。探索性问题是数学试题中的一种重要类型，它要求考生具备开放性思维和创新能力，能够从不完备的条件出发，通过观察、分析、归纳来找出问题的答案。这类问题通常分为四类：条件探索性问题、规律探索性问题、结论探索性问题以及存在探索性问题。 在给定的例题中，数列`{a_n}`的定义是递推关系，考生需要证明其为等比数列，并解决与之相关的和`S_n`及等差序列与等比序列的组合问题。通过计算`a_n+1 / a_n`，证明数列的比值恒定，从而证明其为等比数列。利用等比数列的求和公式计算`S_n`，并求解满足`S_n < 100`的最大正整数`n`。探讨是否存在互不相等的正整数`m`, `s`, `n`，使得`m`, `s`, `n`成等差数列且对应的数列项`a_{m-1}`, `a_{s-1}`, `a_{n-1}`成等比数列。这里采用了反证法，通过假设存在这样的数并推导出矛盾来否定假设。 处理数列探索性问题的基本策略包括： 1. 分析法：从结论出发，逆向推理所需条件。 2. 归一化：将双变量问题转化为单变量问题，简化分析。 3. 构造函数：利用函数单调性证明数列的大小关系。 4. 规律探索：通过观察数列前几项找出规律，猜想并证明结论。 针对训练题中，点`(a_n, a_{n+1})`在直线`x - y + 1 = 0`上，暗示数列`{a_n}`为等差数列，公差为1。通过等差数列的通项公式找到`a_n`，进而解决数列`{b_n}`的和`S_n`的问题。在这里，我们假设存在一个函数`g(n)`，通过累加和的递推关系，最终找到`g(n) = n`，使得等式恒成立。 高考数学中探索性问题的解决涉及等比数列的性质、等差数列的识别、数列和的计算、反证法的应用以及构造函数证明等技巧。学生在复习过程中，应注重培养这些思维方式和解题技能，以应对高考中可能出现的挑战。