在高中数学中，抛物线是一类重要的二次曲面，其标准方程为 \( y^2 = 2px \)，其中 \( p \) 称为焦点距离，它决定了抛物线的形状和位置。本节内容主要围绕抛物线的性质进行训练，包括焦点、准线、焦半径以及与抛物线相关的几何问题。
1. 题目1考察了抛物线的焦点坐标。由双曲线 \( y^2 - x^2 = 2 \) 的标准方程，我们可以找到上焦点的坐标为 \( (0, 2) \)，因此抛物线 \( x^2 = ay \) 的焦点也应与此相同，解得 \( a = 8 \)。
2. 题目2中，点 M 在抛物线 \( y = -4x^2 \) 上，其到焦点的距离等于到准线的距离。抛物线的标准形式为 \( x^2 = -\frac{1}{4}y \)，准线为 \( y = -\frac{1}{16} \)。根据抛物线的定义，点 M 的纵坐标为 \( -1 \)。
3. 题目3中，利用抛物线的焦半径公式 \( |AF| + |BF| \) 等于点 A 到焦点的距离加上点 B 到焦点的距离，即为线段 AB 的长度加上焦距的两倍。对于抛物线 \( y^2 = x \)，焦距为 \( \frac{1}{4} \)，所以线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 \( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \)。
4. 题目4探究了以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的关系。根据抛物线的性质，以焦点弦为直径的圆与准线相切，因为弦的中点到准线的距离等于弦长的一半，而这正好等于圆的半径。
5. 题目5中，直线 \( y = x - 2 \) 与抛物线 \( y^2 = 8x \) 相交，联立解方程可以得到交点坐标，然后利用焦半径公式 \( |FA| - |FB| \) 计算差值，最终得出答案为 8。
6. 题目6涉及到点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值。这个和等于点 P 到圆心 Q 的距离加上点 P 到焦点的距离减去圆的半径，当 PQ 与抛物线的准线垂直时，和达到最小值，此时 P 点的横坐标为 1，所以最小值为 \( \sqrt{1^2 + (4-1)^2} - 1 = 3 \sqrt{2} - 1 \)。
7. 填空题7要求写出以抛物线 \( x^2 = 16y \) 焦点为圆心，与准线相切的圆的方程。焦点为 \( (0, 4) \)，准线为 \( y = -4 \)，所以半径等于焦点到准线的距离，即 8，圆的方程为 \( x^2 + (y - 4)^2 = 64 \)。
8. 题目8中，由点 Q 的坐标和到焦点的距离可以求出抛物线的方程。设抛物线为 \( x^2 = ay \)，焦点距离 \( a/4 \)，所以点 Q 到焦点的距离等于 \( 5 \) 意味着 \( |m - (-a/4)| = 5 \)，解得 \( a = \pm 2 \) 或 \( a = \pm 18 \)，对应的抛物线方程为 \( x^2 = \pm 2y \) 或 \( x^2 = \pm 18y \)。
9. 题目9问的是使 \( \triangle MOF \) 成为等腰三角形的点 M 的个数。有两种情况，一种是 MO=MF，另一种是 OM=OF，每种情况都可能有两个解。
解答题部分则涉及了更复杂的抛物线应用，如求解抛物线的标准方程、计算点与抛物线的几何关系以及抛物线上的切线问题等。这些题目不仅检验了对抛物线基本性质的理解，还要求掌握与之相关的直线、圆以及距离公式的应用。
总结来说，这部分内容强调了对抛物线的基本性质的深入理解和灵活运用，包括焦点、准线、焦半径的计算，以及它们在解决实际问题中的作用。同时，通过具体的例题训练，学生能够巩固对这些概念的认识，提高解题能力。
