【知识点详解】
1. 双曲线的标准方程：题目中提到了与椭圆共焦点的双曲线方程，这是双曲线的基本性质。双曲线的标准方程形式为：`x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1`或`y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1`，其中`(a,0)`和`(-a,0)`是双曲线的两个焦点。题目中通过排除法确定了正确选项，即`x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1`。
2. 椭圆的标准方程及离心率：椭圆的标准方程是`x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1`，离心率`e`定义为`e = c/a`，其中`c`是半焦距，`a`是半长轴。题目中给出了椭圆的离心率和与抛物线焦点相同的条件，从而求出了椭圆的方程。
3. 圆的对称性：圆关于直线对称，意味着直线经过圆心。题目中通过将圆心坐标代入直线方程得到`a + b = 1`，并利用不等式求解`ab`的取值范围。
4. 双曲线的焦点和离心率：双曲线的焦点坐标由`c^2 = a^2 + b^2`给出，离心率`e = c/a`。题目中利用双曲线的焦点与抛物线焦点相同以及离心率的条件，求出了双曲线的方程。
5. 等差数列的性质：题目中的数列`a_n`是等差数列，`a_n = a_1 + (n-1)d`，其中`a_1`是首项，`d`是公差。题目中利用等差数列的性质找到了`a_n`的最大值。
6. 椭圆的离心率与直线的交点：直线`y = x`与椭圆的交点在x轴上的射影是椭圆的焦点，说明交点的横坐标等于椭圆的半焦距`c`。通过将交点坐标代入椭圆方程，可以求出椭圆的离心率。
7. 直线与圆的截距：直线`y = k(x - 1) + 2`恒过定点`(1, 2)`，这个点到圆心的距离影响了弦长的最小值。当定点在圆内且为弦的中点时，弦长最小，可以计算出最小弦长。
8. 函数的对称性质：题目中给出函数`f(x)`满足`f(2-x) = f(x)`，这表明函数关于直线`x=1`对称。根据对称性质，可以比较函数值的大小关系。
9. 动点轨迹问题：点到圆的距离与到定点的距离之差等于常数，形成的是双曲线的一支。但题目中指出差值为圆的半径，即点位于圆的内部，因此轨迹是一条射线。
10. 抛物线的几何性质：根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于该点到准线的距离。题目中利用比例关系和抛物线的定义，结合直线与抛物线的交点坐标，求出了抛物线的方程。
以上是各题目的知识点详解，涉及了椭圆、双曲线的标准方程、离心率、圆的对称性、等差数列、直线与圆的相交、函数的对称性、动点轨迹问题以及抛物线的几何性质等多个数学概念。
