【证明不等式的基本方法与数学归纳法】
证明不等式是高中数学中的核心内容，主要涉及比较法、综合法、分析法、放缩法、构造法等多种方法。在本资料中，主要讨论了如何利用这些基本方法以及数学归纳法来证明不等式。
1. 对于不等式 `a^2 + b^2 + c^2 > ab + ac + bc`，可以采用作差比较法。通过变形得到 `a^2 - ab + b^2 - bc + c^2 - ac = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 > 0`，从而证明不等式成立。
2. 在正数x, y, z的情况下，应用AM-GM不等式（算术平均-几何平均不等式），可以轻松证明 `xyz + yzz + zxy + xyz >= 4 * (xyz)^(1/3)`，当且仅当x=y=z时等号成立。
3. 证明`log_a(a-1) < log_{a+1}(a)`，可以利用对数性质和不等式的传递性。由于`a > 2`，`log_a(a-1) > 0`，`log_{a+1}(a) > 0`，结合换底公式和对数的单调性可以得出证明。
4. 题目涉及到函数的最值问题和不等式的证明。对于函数`f(x) = rx^r - x^(1-r)`，可以通过求导找到极值点，然后判断其是否为全局最小值。再利用这个结果，可以证明一个关于有理数比例的不等式。
5. 证明`3a^3 + 2b^3 >= 3a^2b + 2ab^2`，可以考虑使用均值不等式，例如AM-GM或Cauchy-Schwarz不等式，来比较多项式的和。
6. 当`a`, `b`, `c`是正数且不相等时，利用排序不等式（如Chebyshev不等式）可以证明`1/abc < 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2`。
7. 证明`2/(8a^2) + 2/(8b^2) > 1/(ab) - 1/(ab)`，可以考虑构造适当的形式，使得不等式两端同时乘以相同的正数，简化证明过程。
8. 对于不等式`lg(a/b) + lg(b/c) + lg(c/a) > 0`，可以利用对数的性质和不等式的传递性进行证明。
9. 当二次函数`f(x) = ax^2 + bx + c`的系数满足特定条件时，要证明其在特定区间上的最大值和最小值，需要用到二次函数的性质和区间最值的概念。
10. 数列问题涉及到递推关系和数列的单调性。首先找到数列`{b_n}`的通项公式，然后通过比较相邻项的大小来证明数列`T_n = S_{2n} - S_n`的单调性。
在证明不等式时，重要的是理解每个方法的适用情况，熟练掌握基本不等式和技巧，并灵活运用它们来解决具体问题。数学归纳法则是证明包含自然数的性质的有效工具，尤其适用于证明序列或整数性质的不等式。通过逐步构建证明步骤，可以将问题简化为已知的或明显成立的特殊情况。
