【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第9章 第8节 用向量方法求角与距离 理（含解析）新人教B版

在高中数学的学习中，向量方法是解决空间几何问题的重要工具，尤其是在处理角与距离的问题时。本节内容主要探讨了如何运用向量方法来计算空间中的角和距离，适用于理科生，基于新人教B版教材。以下是相关知识点的详细说明： 1. **向量的定义与性质**： 向量具有大小和方向，可以用来表示空间中的位置和运动。向量的加法和数量乘法遵循特定的运算规则，比如平行四边形法则和三角形法则。 2. **空间直角坐标系**： 建立空间直角坐标系可以帮助我们更直观地表示和计算空间中的点、向量以及它们之间的关系。在题目中，通常以某个点为原点，三条互相垂直的直线为坐标轴。 3. **向量的坐标表示**： 空间中的向量可以用三个坐标分量表示，例如向量AB在坐标系中的表示为`(x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)`，其中`(x_A, y_A, z_A)`和`(x_B, y_B, z_B)`分别是点A和点B的坐标。 4. **向量的数量积与夹角**： 两个向量的数量积等于它们的模长乘积与夹角余弦的乘积，即`<u, v> = ||u|| * ||v|| * cosθ`，其中θ是两向量的夹角。通过求解数量积可以找出两个向量的夹角，进而计算直线与平面所成的角。 5. **向量的法向量**： 平面的法向量是垂直于该平面的非零向量，它可以用来判断直线是否与平面平行或垂直，以及计算点到平面的距离。平面的一般方程可以写为`n·(r-r_0) = 0`，其中n是法向量，r是平面上任一点的位置向量，r_0是平面内的固定点的位置向量。 6. **点到直线、平面的距离**： 点到直线的距离是该点与直线垂足间的线段长度；点到平面的距离是该点到平面内任意一点的连线在垂直于平面方向上的投影长度。 7. **平行线和异面直线的距离**： 平行线间的距离是它们的公垂线段长度；异面直线间的距离是它们的公垂线在两条异面直线之间的线段长度。 8. **求解方法**： 求解距离通常涉及向量的分解、投影、垂直条件的建立以及线性方程组的求解。对于点到平面的距离，可以找到一个经过该点且垂直于平面的向量，然后计算这个向量在平面法向量上的投影。 9. **空间几何的综合应用**： 解决实际问题时，需要结合平面几何、立体几何的知识，通过作图、推理和计算来得出答案。 10. **解题技巧**： 在解决具体问题时，注意利用图形直观理解，合理选取坐标系，巧妙构造法向量，以及熟练运用向量的线性运算。 通过上述知识点的学习和练习，学生将能够运用向量方法有效地解决空间中的角和距离问题，为高考数学做好充分准备。同时，这些技巧也是进一步学习大学数学，尤其是线性代数的基础。