【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第9章 第8节 曲线与方程 理（含解析）北师大版

标题和描述中提到的是高中数学课程的一个章节，专注于"曲线与方程"，特别是针对2016届高三学生的复习内容。这部分知识是高等数学的基础，涵盖了如何通过几何性质和代数方法来理解和构建曲线的方程式。 在提供的部分内容里，涉及到的知识点包括： 1. **抛物线的定义与方程**：动点M到点F(0,4)的距离等于到直线y=-4的距离，这种关系符合抛物线的定义。因此，动点M的轨迹是一个以F(0,4)为焦点，y=-4为准线的抛物线，其标准方程为x^2=16y。 2. **曲线方程的验证**：通过将点的坐标代入方程来检验点是否在曲线上，例如，点(1, -2)代入方程x^2 - xy + 2y + 1 = 0后，满足方程，所以该点在曲线上。 3. **向量的内积与点的轨迹方程**：设点P的坐标为(x, y)，若满足PM·PN=0，即两个向量的点乘为0，意味着这两个向量垂直，由此可以得出点P的轨迹方程为x^2 + y^2 = 4，表示一个以原点为圆心，半径为2的圆。 4. **参数方程与曲线形状**：方程x^2 + y^2cosθ = 4，θ为任意实数，根据cosθ的取值范围，可以得出方程可能表示椭圆、双曲线或圆，但不可能是抛物线，因为抛物线的方程不能包含y的偶次幂。 5. **折叠问题与椭圆定义**：点A在圆周上运动，折痕CD的中点P的轨迹满足|PA|+|OP|=r，这正是椭圆的定义，因此点P的轨迹是椭圆。 6. **角度与轨迹方程**：动点P满足∠APO=∠BPO，即|PA|/|PB|=|OA|/|OB|，通过比例关系可以得出点P的轨迹方程为(x-2)^2+y^2=4，且y≠0，表示一个去掉y轴的圆。 7. **弦的中点轨迹**：设BC的中点为P(x, y)，由于BC的长度为6且在半径为5的圆上，利用垂直平分线的性质和距离公式，可以找到BC中点的轨迹方程为x^2 + y^2 = 16。 8. **线段比例与轨迹方程**：动点C满足AC=2CB，通过线段比例关系和点的坐标关系，可以得出点C的轨迹方程为x^2 + 1/(y^2) = 1。 9. **垂直直线与中点轨迹**：互相垂直的直线l1与l2分别与x轴和y轴交于A和B，AB的中点M的轨迹方程可以通过直线的交点坐标和中点坐标的关系推导得出，为x+y-1=0。 10. **双曲线上的点与垂线**：点Q在双曲线x^2 - y^2 = 1上，其与直线x+y=2的垂线交于N，线段QN的中点P的轨迹方程可以通过建立点Q、N、P之间的坐标关系并利用垂直条件来求解。 这些题目旨在帮助学生巩固曲线与方程的基本概念，理解曲线形成的原因，掌握如何从几何关系推导出代数方程，以及通过代数方程描述几何图形。对于即将参加高考的学生来说，这些都是至关重要的技能。