2012年高考数学 考点16 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换

【考点解析】 两角和与差的正弦、余弦和正切公式是高中数学中的重要内容，它们在解决三角函数问题时起着至关重要的作用。这些公式可以用来简化复杂的三角表达式，帮助我们进行三角恒等变换。 1. **两角和的正弦公式**： \[ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \] 2. **两角和的余弦公式**： \[ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \] 3. **两角差的正弦公式**： \[ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \] 4. **两角差的余弦公式**： \[ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \] 5. **两角和的正切公式**： \[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} \] 6. **两角差的正切公式**： \[ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} \] 通过这些公式，我们可以进行三角函数的转换，例如将一个三角表达式转化为更简单或更熟悉的形态。在解题过程中，通常会结合三角函数的基本关系，如同角三角函数的关系、二倍角公式、半角公式以及辅助角公式等，来解决复杂的问题。 在高考中，这类题目往往以选择题和填空题的形式出现，要求考生灵活运用这些公式进行计算或推导。例如题干中的第1题，通过三角函数的基本关系和二倍角公式，求解正弦值；第2题和第3题通过切化弦，结合倍角公式解决问题；第4题则是利用降幂公式和对数的性质求解；第5题则需要利用两角和差的正弦、余弦公式进行化简，最终确定函数的值域。 在实际应用中，掌握这些公式不仅对于解答高考题目至关重要，也是进一步学习复杂数学概念，如解三角方程、周期函数分析、物理中的波动问题等的基础。 两角和与差的三角函数公式是高中数学三角部分的核心知识点，对学生的逻辑思维和运算能力有较高要求。通过大量的练习和应用，学生能够熟练运用这些公式，提高解题效率和准确性。