2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式第2课时两角和与差的正切公式练习新人教A版

在高中数学中，三角恒等变换是解决许多几何和代数问题的关键工具。两角和与差的三角公式，特别是正弦、余弦和正切公式，是这一领域的重要内容。这些公式允许我们通过已知角度的三角函数值来求解未知角度的三角函数值，或者简化复杂的三角表达式。 在第3章《三角恒等变换》的3.1.2节中，主要探讨的是两角和与差的正弦、余弦和正切公式。第二课时重点在于两角差的正切公式。以下是一些核心知识点： 1. **两角和的正切公式**： \[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} \] 2. **两角差的正切公式**： \[ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} \] 3. **运用公式解题**： - 在题目1中，利用60度角的正切值（\(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\)）和两角和的正切公式，求出\(\tan 28^\circ + \tan 32^\circ\)。 - 题目2和4同样应用两角和的正切公式，求解\(\tan\)的值。 - 题目3通过两角和的正切公式求解\(\tan \alpha \tan \beta\)。 - 题目5考察了三角函数在三角形中的应用，由于A为钝角，B+C为锐角，可以推导出\tan B\tan C的范围。 4. **角的和与差的三角函数关系**： - 当两个角度相加或相减时，它们的三角函数值可以通过上述公式相互转换。 - 特别地，当和或差的角度是特殊角度（如30°，45°，60°等）时，可以简化计算。 5. **方程解法**： - 题目10中的tan α和tan β是方程的根，可以利用两角和或差的正切公式求解\(\tan(\alpha - \beta)\)和\(\tan(\alpha + \beta)\)。 6. **周期性和对称性**： - 三角函数具有周期性，例如\tan(2α)和\tan(2β)可以通过\(\tan(\alpha + \beta)\)和\(\tan(\alpha - \beta)\)的组合得到。 7. **向量和三角函数的结合**： - 题目23展示了向量垂直条件（向量点积为零）与三角函数的关系，通过计算向量的坐标和三角函数值找到tan α。 8. **三角形内角和**： - 题目4和5涉及三角形内角的和，通过已知角度的正切值求解其他角度的正切值，利用三角形内角和为180度。 9. **特殊角度的求解**： - 题目6和7展示了如何利用特殊角度的正切值（如15°）来求解更复杂的表达式。 通过以上题目和分析，我们可以看出，理解和掌握两角和与差的正切公式是解决高中数学问题的关键，这不仅涉及公式本身的运用，还涉及到三角函数的性质、三角形的性质以及向量的几何意义。通过不断的练习和应用，可以提升对这些公式的熟练度，从而解决更复杂的问题。