2020_2021学年高中数学第1章三角函数1.4.2第2课时正弦余弦函数的单调性与最值课时作业含解析新人教A版必修420210...

【知识点详解】 1. **三角函数的周期性**： - 三角函数的周期性是其基本性质之一，如题目中的函数`y=sin 2x`和`y=cos 2x`的周期都是π，这意味着它们的图形每隔π长度会重复一次。 2. **正弦函数和余弦函数的单调性**： - 正弦函数y=sinx在[0°, 90°]（即[0, π/2]）上是单调递增的，在[90°, 180°]（即[π/2, π]）上是单调递减的。 - 余弦函数y=cosx在[0°, 90°]（即[0, π/2]）上是单调递减的，在[90°, 180°]（即[π/2, π]）上是单调递增的。 - 例如，函数`y=sin (2x)`在区间`[π, 2π]`上是单调递减的。 3. **诱导公式**： - 诱导公式用于将不同角度的三角函数转换成已知的基本三角函数。例如，`cos 10° = sin (90° - 10°) = sin 80°`，`sin 168° = sin (180° - 12°) = sin 12°`。 4. **函数的单调递增/递减区间**： - 寻找函数的单调区间通常涉及解不等式来确定变量x的范围，如`2kπ - π ≤ x - π/2 ≤ 2kπ + π`，找到使三角函数单调变化的x值。 5. **三角函数的最值**： - 余弦函数的取值范围是[-1, 1]，正弦函数的取值范围也是[-1, 1]。函数`y=cos (2x)`在`x ∈ [π, 2π]`上的值域是[0, 1]，因为它在这个区间内是单调递增的。 6. **三角函数的零点**： - 寻找三角函数的零点，需要解方程如`cos (3x + θ) = 0`，这涉及到找到使角度等于90度或270度的x值。 7. **函数的最大值和最小值**： - 函数`y=cos (ωx)`的最值出现在`ωx = kπ`，其中k是整数。当ω>0时，函数的最大值为1，最小值为-1。 8. **周期函数的最小正周期**： - 对于形式为`y=Asin(ωx+φ)`或`y=Acos(ωx+φ)`的三角函数，最小正周期T=2π/|ω|。 9. **三角函数的图像对称性和单调性**： - 三角函数的图像可能关于直线`x=kπ/2`（其中k是整数）对称，例如，`y=sin x`关于`x=kπ`对称，`y=cos x`关于`x=kπ/2`对称。 - 函数`y=sin (ωx)`在`[kπ - π/2ω, kπ + π/2ω]`（k是整数）上是单调递增的。 10. **函数的定义域与值域**： - 如果一个函数`y=sin x`的定义域是[a, b]，且值域是[-1, 1]，那么b-a的最大值可以通过观察函数在一个完整周期内的变化得出，最大值是2π。 11. **三角函数的复合函数周期**： - 如函数`y=cos (3x+θ)`，它的周期不再是2π，而是2π/|3|，即2π/3。 12. **三角函数的单调递增区间**： - 要找到`y=cos (3x+θ)`在`x ∈ [π/6, 2π/3]`上的单调递增区间，需要解不等式`2kπ - π ≤ 3x + θ ≤ 2kπ`，然后限制x在给定区间内。 通过以上内容，我们可以看到，高中数学中三角函数的学习涵盖了周期性、单调性、最值、对称性等多个重要概念，这些都是理解和应用三角函数的关键。这些知识点不仅在解题中至关重要，也为进一步学习复杂数学、物理和工程学科奠定了基础。