2020_2021学年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一训练含解析新人教A版必修4202102232134

【知识点详解】 1. **三角函数的基本性质**：正弦函数和余弦函数是高中数学中的基础内容，它们具有周期性、奇偶性、单调性等特性。例如，题目中的函数f(x) = x + sin x，由于sin x是奇函数，而x是奇函数，所以整个函数f(x)也是奇函数。 2. **周期性**：三角函数的周期性是其重要特征之一。例如，题目中问到周期为的函数，周期公式为T = 2π/k，其中k是函数中角度系数。通过计算可以得出不同函数的周期。 3. **绝对值函数的影响**：函数f(x) = 2|sin x|，引入绝对值后，正弦函数的负值变为正值，但周期不变，因此最小正周期仍为π。 4. **奇函数与偶函数的识别**：奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。例如，题目中提到的函数f(n) = sin n，对于整数n，奇函数的性质可以通过检验f(-n)来确定。 5. **函数解析式求解**：如果已知一个函数的部分性质，如周期、奇偶性，可以推导出函数在其他区间的解析式。例如，已知f(x)是偶函数，当x ≥ 0时，f(x) = sin x，那么当x < 0时，f(x) = f(-x) = sin(-x) = -sin x，所以f(x) = sin |x|。 6. **函数和的周期性**：两个周期函数的和的周期可能是它们各自周期的最小公倍数。例如，y = sin x 和 y = cos x的周期分别是2π，但y = sin x + cos x的周期可能不是2π。 7. **函数的奇偶性判断**：通过分析函数f(x) = coscos(π + x)、f(x) = + 和f(x) = ，可以得出它们的奇偶性。比如，f(x) = coscos(π + x)是奇函数，因为cos(π + x) = -cos x，所以sin 2x * (-cos x) = -sin 2xcos x，满足f(-x) = -f(x)。 8. **函数的周期性和对称性**：已知f(x)是以π为周期的偶函数，那么在x ∈ [a, b]上的解析式可以由x ∈ [-b, -a]上的解析式得到。例如，如果x ∈ [0, π]时，f(x) = 1 - sin x，那么x ∈ [π, 2π]时，f(x) = f(2π - x) = 1 - sin (2π - x) = 1 - sin x。 9. **复合函数的周期性**：函数y = cos(sin x)的周期可以通过内部函数sin x的周期和外部函数cos的周期相互作用确定。这里cos的周期是2π，而sin x的周期是2π，通过计算可以得出复合函数的最小正周期。 10. **函数图像的对称性**：在x ∈ [0, π]时，f(x) = 1 - sin x，这是一个偶函数，所以当x ∈ [π, 2π]时，f(x) = f(-x) = f(2π - x) = 1 - sin (2π - x) = 1 - sin x。 11. **三角函数的最值**：题目中涉及的函数y = cos(sin x)，其最小正周期由内层函数sin x的周期决定，即π。 12. **方程根的和**：寻找函数f(x) = |sin x|在区间[-2π, 2π]上使得f(x) = 的根，由于sin x的对称性，可以找出所有根的和。 13. **函数的奇偶性分类**：对于函数f(x) = sin(x + φ)，通过改变φ的值，函数可以是奇函数、偶函数或者非奇非偶函数。 14. **函数的性质综合应用**：定义在R上的函数f(x)满足特定条件，可能涉及到周期性、奇偶性、单调性等多方面性质的考察。 以上是根据题目内容提炼出的高中数学关于三角函数的知识点，涵盖了函数的性质、周期性、奇偶性、解析式的推导等内容。这些知识点是高中数学学习的重要组成部分，理解和掌握它们对于解决相关问题至关重要。