在高中数学的学习中，空间向量与立体几何是重要的章节之一，特别是在2020-2021学年的新教材中，这部分内容被详细地阐述。本节主要讨论的是空间向量的数量积运算，这是理解和解决立体几何问题的关键工具。
1. **数量积的基本性质**：
- 命题的正确性是判断空间向量运算的基础。题目中的第1题列举了四个关于向量数量积的命题，其中①表示向量的模等于其自身的数量积，这是错误的，因为正确的表达应为|a|^2=a·a；②表明向量乘以标量后与另一个向量的数量积等价于标量乘以两个向量的数量积，这个命题是正确的；③展示了分配律在数量积中的应用，也是正确的；④错误地假设两个向量的平方差相等，实际上这并不总是成立。因此，不正确的命题只有1个，答案是D。
2. **向量的模与夹角**：
- 第2题中，两个单位向量a和b的夹角为60°，求|a-3b|的长度。这里需要用到向量减法的性质以及余弦定理。计算|a-3b|的平方，然后开方即可得到答案。根据向量的模长公式和夹角公式，可以得出|a-3b|=|a|^2+|3b|^2-2|a|*|3b|*cos60°，简化后得到结果。
3. **空间向量的垂直关系**：
- 第3题中，空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=60°。通过向量的数量积来判断OA与BC是否垂直。计算OA·BC，如果结果为0，说明OA与BC垂直。根据已知条件，我们可以直接得出OA·BC=0，因此，OA与BC垂直，它们的夹角cos值为0。
4. **向量的线性组合及其模长**：
- 第4题中，三个向量a, b, c两两之间的夹角都是60°，且都是单位向量。要求|a-b+2c|的模长，可以通过展开平方来计算，利用向量的模长公式和数量积的性质，最终得到结果。
5. **长方体中的向量夹角和数量积**：
- 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，通过构建几何模型解决问题。例如，B1C与A1P所成的角可以通过计算它们的向量夹角来确定。这里可以通过向量的线性运算和数量积来求解。题目给出了长方体的尺寸和点P的位置，通过计算B1C·A1P，我们可以找到这两个向量的夹角，并求出它们的数量积。
总结起来，空间向量的数量积运算在高中数学中扮演着至关重要的角色，它涉及到向量的模长、夹角、垂直关系以及向量的线性组合等多个方面。熟练掌握这些知识，不仅有助于理解立体几何问题，也为后续的数学学习打下坚实基础。通过上述习题的解答，我们可以深入理解向量数量积的性质和应用。
