"2020_2021学年高中数学第1章导数及其应用1.2.3简单复合函数的导数课时素养评价含解析苏教版选修2_220210402110"
本资源是高中数学的课时素养评价，主要内容是简单复合函数的导数。下面是详细的知识点和解析：
一、选择题
1. 函数 y=cos 2x 的导数为( )
A.y′=sin 2x B.y′=-sin 2x C.y′=-2sin 2x D.y′=2sin 2x
【解析】选 C.y′=-sin 2x·(2x)′=-2sin 2x.
2. 设 f(x)=ln(3x-1)，若 f(x)在 x0处的导数 f′(x0)=6，则 x0的值为 ( )
A.0 B. C.3 D.6
【解析】选 B.由 f(x)=ln(3x-1)，得 f′(x)=.由 f′(x0)==6，解得 x0= .
3. 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象关于 y 轴对称，则 f′(0)=_________.(其中 f′(x)是 f(x)的导函数)
A.0B.ωC.φD.1
【解析】选 A.因为函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象关于 y 轴对称，所以 f(0)=sinφ=±1，故 φ=kπ+ ,k∈Z，① 当 k=2n,n∈Z 时，f(x)=sin=cos ωx，这时，f′(x)=-ωsin ωx，所以 f′(0)=0.② 当 k=2n+1,n∈Z 时，f(x)=sin=-cos ωx，这时，f′(x)=ωsin ωx，所以 f′(0)=0，f′(0)=0.
4. 设函数 f(x)=ax2+2ln(2-x)(a∈R)在点(1,f(1))处的切线为 l，若直线 l 与圆 C:x2+y2= 相切，则实数 a 的值为( )
A.B.C.D.2
【解析】选 C.因为 f(1)=a，f′(x)=2ax+(x<2)，所以 f′(1)=2a-2，所以切线 l 的方程为 2(a-1)x-y+2-a=0.因为直线 l 与圆相切，所以圆心到直线 l 的距离等于半径， 即= ,解得 a=.
【延伸探究】 若将上题中条件改为“直线 l 与圆 C:x2+y2= 相交”，则 a 的取值范围为____________.
【解析】由题目知，直线 l 的方程为 2(a-1)x-y+2-a=0.因为直线 l 与圆 C:x2+y2= 相交，所以圆心到直线 l 的距离小于半径.即< .解得 a>.
五、曲线 y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ( )
A.4B.e2C.D.4e2
【解析】选 B.y′=，曲线在点(4,e2)处的切线斜率为 e2，所以切线方程为:y-e2= e2(x-4).令 x=0，得 y=-e2，令 y=0，得 x=2，所以与坐标轴所围成的三角形的面积S△= ×2×e2=e2.
二、填空题
6. 设 f(x)=ln，则 f′(2)=_____________.
【解题指南】令 u(x)=，可求得 u′(x)=，从而可求得 f′(x)，求出 f′(2).
【解析】因为 f(x)=ln，令 u(x)=，则 f(u)=ln u，因为 f′(u)=，u′(x)=·=，由复合函数的导数公式得:f′(x)=·=，所以 f′(2)= .
【补偿训练】
7. 设 f(x)=cos22x，则 f′=_____________.
【解析】因为 f(x)=cos22x= + cos 4x，所以 f′(x)= (cos 4x)′(4x)′=-2sin 4x，所以 f′=-2sin =-2.
答案:-2
8. 已知函数 f(x) 的导函数为 f′(x)，若 f(x)=f′sin 3x+cos 3x，则 f′=_______________.
【解析】因为 f(x)=f′sin 3x+cos 3x，所以 f′(x)=f′·3cos 3x-3sin 3x，所以令 x= 可得 f′=f′3cos -3sin =f′× -3×，解得 f′=3 .
答案:3
【补偿训练】
9. 设 y=g(x)=f(sin2x)+f(cos2x)，其中 f(x)可导，则 g′=_____________.
【解析】g′(x)=[f(sin2x)]′+[f(cos2x)]′=f′(sin2x)·2sin x·cos x+f′(cos2x)·2cos x·(-sin x)=sin 2x[f′(sin2x)-f′(cos2x)],所以 g′=f′-f′=0.
答案:0
8. 已知函数 f(x)=x，则 f′(2)=_______________.
【解析】因为 f′(x)=(xe-x)′=x′e-x+x(e-x)′=e-x+x(-e-x)=(1-x)e-x.所以 f′(2)=-e-2=-.
答案:-
三、解答题
9. 求下列函数的导数：
(1)y=(-2)2.(2)y=x-sincos.(3)y=sin2.
【解析】
(1)因为 y=(-2)2，所以 y′=(-2)2'=2(-2)2ln(-2)=2(-2)ln(-2).
(2)因为 y=x-sincos，所以 y′=1-sinxcosx-sincosx=1-sinxcosx-.
(3)因为 y=sin2，所以 y′=2cos2=2cos.
本资源涵盖了简单复合函数的导数、函数的图象、切线、圆、曲线等知识点，是高中数学教学的重要内容。
