2020_2021学年新教材高中数学第二章直线和圆的方程2.5.1直线与圆的位置关系素养作业提技能含解析新人教A版选择性必修第一...

在高中数学的学习中，直线与圆的位置关系是一个重要的知识点，主要涉及平面解析几何的内容。本章节聚焦于如何理解和处理直线与圆的关系，包括相离、相切、相交三种情况。以下是对这部分知识的详细解释： 1. **直线与圆的位置关系**： - **相离**：如果直线到圆心的距离大于圆的半径，那么直线与圆不相交，彼此分离。 - **相切**：直线到圆心的距离等于圆的半径，此时直线是圆的切线，只有一个交点，即切点。 - **相交**：当直线到圆心的距离小于圆的半径时，直线会穿过圆，形成两个交点。 2. **直线与圆的位置关系的判断**： - 利用圆的标准方程 `(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2`，其中`(a,b)`是圆心坐标，`r`是半径，可以计算圆心到直线的距离`d`。如果`d = r`，则直线与圆相切；如果`d < r`，则相交；如果`d > r`，则相离。 - 判定方法通常包括点到直线的距离公式`d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)`，其中`(x0, y0)`是直线外任意一点（如圆心）的坐标，`A`, `B`, `C`是直线的方程`Ax + By + C = 0`中的系数。 3. **圆的切线方程**： - 如果已知一个点在圆上，那么过这个点的切线方程可以通过圆的一般方程直接得出，因为切线与过该点的半径垂直。 - 斜率为已知时，可以通过设切线方程`y = kx + b`，然后利用圆心到直线的距离等于半径来求解切线方程，通过`Δ = 0`确保方程只有一解，表示直线与圆相切。 - 当直线与坐标轴平行时，如题目中的第1题和第4题所示，可以直接根据圆心到直线的距离等于半径来确定切线的位置。 4. **圆的切线性质**： - 圆的切线垂直于过切点的半径。 - 切点处的导数为零，这在微积分中也有体现，因为切线是曲线在该点的瞬时斜率。 5. **圆的弦长问题**： - 当直线与圆相交形成弦时，可以利用垂径定理来求弦长。弦长`L`可以通过`L = 2 * r * sin(θ)`来计算，其中`θ`是弦所对的圆心角的弧度值。 - 弦长也可以通过圆心到直线的距离和勾股定理来求解，例如第5题中的情况。 6. **特殊点的问题**： - 如第6题所示，当圆上的点到直线的距离等于半径减去直线到圆心的距离时，会有3个这样的点，因为这些点构成的圆弧与直线刚好形成半圆。 7. **圆心和半径的确定**： - 圆心可以通过圆上的两个已知点的中垂线找到，如第7题，圆心是这两点连线的垂直平分线与已知直线的交点。 - 半径则是圆心到圆上任一点的距离。 8. **直线与圆相切的条件**： - 若直线与圆相切于某点，那么过该点的直径与直线垂直。在第8题中，利用了这一点找到了直径所在直线，然后找到了圆心坐标。 9. **切线方程的求解**： - 第9题中的三种情况展示了不同条件下切线方程的求解方法，包括直接判断法、斜率法以及利用切点和圆心构造的方程。 通过对这些题目和知识点的分析，我们可以看到，直线与圆的位置关系是高中数学中的基础概念，涉及到直线方程、圆的方程、距离公式、垂径定理等多方面的知识，是培养学生空间想象能力和逻辑推理能力的重要载体。通过解决这些问题，学生可以深化对这些概念的理解，并提升解决实际问题的能力。