【平面直角坐标系中的伸缩变换】
平面直角坐标系是高中数学中一个重要的概念，它为描述和分析几何图形提供了便利的工具。在坐标系中，伸缩变换是一种基本的几何变换，用于改变图形的大小而不改变形状。这种变换涉及到坐标轴的比例因子，通过这些因子可以放大或缩小图形在各个方向上的尺寸。
1. **伸缩变换的基本原理**
- 在平面直角坐标系中，伸缩变换通常表示为新的坐标与原始坐标的线性关系。例如，原坐标点(x, y)在变换后成为(x', y')，其中x' = kx，y' = ly，k和l是沿着x轴和y轴的伸缩因子。如果k和l大于1，那么变换是放大的；如果小于1，就是缩小的；等于1则保持不变。
2. **题目解析**
- 题目中提到的曲线C在伸缩变换后变为x'^2 + 4y'^2 = 1，要求找出原曲线C的方程。通过将变换后的方程代入原坐标，我们可以解出原曲线的方程。如题目的解答所示，将x = 5x'，y = 3y'代入x'^2 + 4y'^2 = 1，得到25x^2 + 36y^2 = 1，这就是原曲线C的方程。
3. **直线的伸缩变换**
- 直线的伸缩变换同样遵循上述原理。例如，直线2x - y = 3在伸缩变换φ作用后变为x' - 2y' = 6。通过比较变换前后的直线方程，我们可以找出变换公式φ，并解出变换参数。在本例中，φ为x' = x，y' = 0.5y，代入后得到x - y = 3，与x' - 2y' = 6一致。
4. **三角函数的伸缩变换**
- 对于三角函数图像，伸缩变换会影响到函数周期。如题中，f1(x) = cos x经过变换得到f2(x) = cos ωx，其中ω > 0。这里ω代表的是周期的改变，如果图像的周期被压缩，意味着ω大于1。根据题目的解答，f2(x) = cos 3x，因此ω = 3。
5. **直线的等价变换**
- 直线2x + 3y - 1 = 0可以通过某种坐标变换化简为6x + 6y - 1 = 0。通过对比两条直线的系数，我们可以找到变换规则。这里变换公式为x' = kx，y' = ky，通过代入和比较，得出k = ，从而得到变换公式。
6. **点的坐标变换**
- 点P(1, -2)在伸缩变换φ：x' = 2x，y' = y后，坐标变为(2, -1)。这个过程展示了如何应用变换公式到具体的点上。
7. **三角形面积的计算**
- 通过伸缩变换，三角形ABC变换成A'B'C'，其中A(2, 0)，B(0, 3)，C(0, 0)。应用变换公式后，我们可以求出A'(4, 0)，B'(0, 6)，C'(0, 0)。由此，我们可以计算出三角形A'B'C'的面积，即SΔA'B'C' = ×4×6 = 12。
8. **圆的平移和伸缩变换**
- 圆x^2 + y^2 = 4先按向量a = (-1, 2)平移到(x+1)^2 + (y-2)^2 = 4，然后应用伸缩变换。假设变换公式为x' = 2x，y' = 3y，将新坐标代入平移后的圆方程，我们得到2x'^2 + 3y'^2 = 4，化简后得到2 + = 1，这是变换后圆的方程。
通过以上分析，我们可以看到伸缩变换在高中数学中的应用，包括对曲线、直线、点和三角形的影响，以及如何通过变换来求解新的方程。掌握这些概念和技巧，对于理解和解决涉及坐标变换的问题至关重要。
