2020_2021学年高中数学第1讲坐标系第1课时平面直角坐标系课后提能训练含解析新人教A版选修4_4202103221152

【知识点详解】 1. **平面直角坐标系**：平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴——x轴和y轴构成的图形系统。在这个系统中，每个点的位置可以通过一对有序实数（横坐标和纵坐标）来唯一确定。 2. **两点间距离公式**：在平面直角坐标系中，两点A(x1, y1)和B(x2, y2)之间的距离可以用公式计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)。例如，题目中的问题1和问题3都用到了这个公式来判断几何形状或求解线段长度。 3. **等腰三角形与直角三角形的识别**：如果一个三角形的两边长度相等且夹角为90度，那么它是一个等腰直角三角形。问题1通过计算各边长证明了△ABC是一个等腰直角三角形。 4. **平行四边形性质**：平行四边形的对边平行且相等，对角相等。问题2通过向量法确定了平行四边形第四个顶点D的坐标。 5. **线段中点坐标公式**：线段AB的中点M的坐标(xM, yM)可以用中点公式计算：xM = (x1 + x2)/2, yM = (y1 + y2)/2。在问题3中，找到线段AB的中点，是求解垂直平分线的关键步骤。 6. **直线的垂直平分线**：如果一条直线通过某线段的中点并且与该线段垂直，那么这条直线就是线段的垂直平分线。问题3通过斜率的乘积为-1确定了垂直平分线的斜率，并利用点斜式求得方程。 7. **点与圆的位置关系**：判断点P(x, y)与圆(x-a)² + (y-b)² = r²的位置关系，可以计算点到圆心的距离d并与半径r比较。如果d<r，点在圆内；d=r，点在圆上；d>r，点在圆外。问题4通过计算点P到圆心的距离，判断点P位于圆内。 8. **直角三角形斜率关系**：如果∠ACB=90°，那么AC与BC的斜率乘积为-1。在问题5中，利用这个关系求解点C可能的坐标。 9. **定比分点公式**：对于线段OP，若点Q将OP分为OQ:QP=1:2，那么点Q的坐标可以用定比分点公式求得：xQ = (2xP + xO)/3, yQ = (2yP + yO)/3。问题6中，利用这个公式求解点Q的轨迹方程。 10. **函数最值问题**：在问题7中，求函数y = 1/(x+1) + 1/(x+2)的最小值，可以转换为寻找两个点A(0,1)和B(2,2)关于x轴对称点A'(0,-1)与x轴上点P(x,0)连线的最小距离，利用距离公式求解。 11. **直线与曲线的交点问题**：问题8涉及到直线y = x + k与半圆x² + y² = 1(x ≥ 0)的交点情况。通过分析图形，可以得出k的取值范围。 以上知识点涵盖了高中数学中平面直角坐标系的基本概念、性质和应用，包括点的坐标、距离公式、几何图形的性质、直线方程、圆的性质以及函数最值等问题的解决方法。通过这些知识点的学习，学生能够理解和解决相关问题，提升数学素养。