2022届高考数学统考一轮复习课后限时集训7基本不等式理含解析新人教版202102272180

【知识点详解】 1. **基本不等式**：在高中数学中，基本不等式是指出对于所有非负实数a和b，有a^2 + b^2 ≥ 2ab，等号成立当且仅当a = b。这个不等式是解决涉及求最值问题的关键工具。 2. **等号成立的条件**：基本不等式中的等号成立的条件是a和b同号，且a = b或b = 0。在不等式的应用中，判断等号是否能够成立至关重要，因为它直接影响到能否取得最值。 3. **不等式的证明**：题目中通过分析每个选项，展示了如何正确和错误地使用基本不等式来证明不等式。例如，当a和b异号时，不能直接使用基本不等式，因为它们不满足“同号”条件。 4. **乘积最值**：两个正数a和b的乘积可以利用基本不等式求其最大值或最小值。例如，如果a + b = c是常数，那么ab ≤ (a + b)^2/4，等号成立当且仅当a = b。 5. **均值不等式**：均值不等式是不等式理论中的另一个重要部分，包括算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式）和算术平均数-调和平均数不等式（AM-HM不等式）。在题目中，AM-GM不等式被用来找到代数表达式的最小值。 6. **函数最值**：函数y = f(x)的最值问题可以通过转化为寻找f(x)的导数等于零的点，或者利用不等式方法来解决。在给定的练习中，涉及了函数y = x + (x > 2)的最小值，利用基本不等式找到了最小值。 7. **实际应用**：基本不等式和相关不等式在实际问题中也有应用，如生产成本优化。在第6题中，通过平衡生产准备费用和仓储费用，确定每批生产数量x以最小化单位产品的总成本。 8. **解答题技巧**：解答题要求综合运用基本不等式和其他数学方法，例如拉格朗日乘数法，来解决等式约束下的最值问题。题目10和11展示了如何利用这种方法求解变量之间的最值关系。 9. **恒成立问题**：在第11题中，要求一个表达式如3x + y ≥ m^2 - m恒成立，意味着我们需要找到3x + y的最小值，并将其与m^2 - m比较。这涉及到构造不等式并找到其下界。 通过以上分析，可以看出，基本不等式是高中数学复习中的重点，它不仅要求学生掌握基本的理论，还要求能够灵活运用到各种问题中，解决最值、证明和实际问题。在复习过程中，应注重理解和应用条件，以及熟练掌握等号成立的条件，以便准确无误地使用基本不等式。