轴上，故其标准方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，代入 a=4, c=2 得到 b^2 = 8，因此椭圆 C 的方程为 x^2/16 + y^2/8 = 1。
【例 2】 动圆 P 与圆 A 外切并与直线 l 相切，设动圆半径为 r，则动圆圆心 P 到定点 A(-2,0)的距离等于 r+1（因为外切时两圆半径之和等于圆心距），同时动圆圆心 P 到定直线 l：x=1 的距离也为 r。因此，P 点到定点 A 的距离等于到定直线 l 的距离，P 点的轨迹为抛物线的一部分。轨迹方程为 (x+2)^2 = 2y，即 x^2 + 4x + 4 = 2y，整理得 y = (x^2 + 4)/2。
【例 3】 由题意 f(x·y) = xf(y) + yf(x)，令 x=y=1，得到 f(1) = 2f(1)，解得 f(1) = 0。又因为 a_n = f(2^n)，所以 a_1 = f(2) = 2。对 f(x·y) = xf(y) + yf(x) 两边同时取 2 的 n 次方，得到 f(2^n) = 2^n f(1) + 2^n f(1) = 2^n * 0 = 0，所以 a_n = f(2^n) = 0 对所有 n 属于 N* 都成立。
【例 4】 当 x>1 时，|x^2 - 1| = x + k 变为 x^2 - 1 = x + k，即 x^2 - x - (k + 1) = 0，这是一元二次方程，最多有两个实根。同样，当 x<1 时，|x^2 - 1| = -(x + k)，即 x^2 - x + (k + 1) = 0，也最多有两个实根。因此，方程的实根个数最多为 4 个。
【例 5】 由 cos2α + cos2β + cos2γ = 1，根据余弦的二倍角公式，可得 1 - 2sin^2α + 1 - 2sin^2β + 1 - 2sin^2γ = 1，即 sin^2α + sin^2β + sin^2γ = 3/2。因为 α、β、γ 是锐角，所以 tan α > 0, tan β > 0, tan γ > 0，由均值不等式 tan α·tan β·tan γ ≥ (tan α + tan β + tan γ)^3/27（注意 α、β、γ 不同时为 π/2，所以这个不等式适用）。要找最小值，只需找到 tan α + tan β + tan γ 的最小值。利用正弦定理，tan α·tan β·tan γ = cot (α+β)·tan γ = cos (α+β)·sin γ / cos γ·cos (α+β) = sin (α+β+γ) / cos α·cos β·cos γ = 1，所以 tan α + tan β + tan γ = tan (α+β+γ) = tan π = 0。此时，tan α·tan β·tan γ 的最小值为 1。
【例 6】 为了使不等式 f(x) ≤ m^2 - 2m + 3 对所有 x ∈ [-2, 2] 恒成立，只需 f(x) 的最大值小于等于 m^2 - 2m + 3。由于 f(x) = x^3 + x - 6，我们考虑 f'(x) = 3x^2 + 1，在区间 [-2, 2] 内 f'(x) 恒正，所以 f(x) 在 [-2, 2] 上单调递增，最大值发生在 x=2，即 f_max = f(2) = 10。因此，m^2 - 2m + 3 ≥ 10，解得 m^2 - 2m - 7 ≥ 0，解得 m ≤ 1 - √8 或 m ≥ 1 + √8。
【变式训练 1】 由向量的加减法和平行四边形法则，(a+b)⊥(a-b) 可以转化为 (a+b)·(a-b) = 0，即 a^2 - b^2 = 0。将 a = (m+1)i - 3j, b = i + (m-1)j 代入，得到 (m+1)^2 - 9 + 1 - (m-1)^2 = 0，解得 m = 2。
【变式训练 2】 因为 a，b，c 成等差数列，所以 2b = a + c。根据正弦定理，b/sinB = a/sinA = c/sinC，所以 (2sinB)^2 = sin^2A + sin^2C + 2sinAsinCcosB。代入 b/(sinB) = 2R（R 是外接圆半径），得到 4R^2sin^2B = 4R^2sin^2A/4 + 4R^2sin^2C/4 + 2R^2sinAsinCcosB。由于 a，b，c 成等差数列，所以 B = π - (A+C)，即 cosB = -cos(A+C) = -cosAcosC + sinAsinC，代入得到 4sin^2B = sin^2A + sin^2C - 2sinAsinCcosAcosC。又因为 sinAsinC = 2sinBsinB，所以 4sin^2B = sin^2A + sin^2C - 4sin^2Bsin^2B，化简得到 8sin^2Bsin^2B = sin^2A + sin^2C，即 8b^4/(4R^2)^2 = a^2/cos^2B + c^2/cos^2B。由于 b/(sinB) = 2R，代入后得到 8b^2 = a^2/cos^2B + c^2/cos^2B，即 8b^2 = (a^2 + c^2 - b^2)/(1 - cos^2B)。由 2b = a + c，代入后得到 8b^2 = (2b^2 - b^2)/(1 - cos^2B)，解得 cos^2B = 1/3，因此 sin^2B = 2/3，最后得出 a^2 + c^2 - b^2 = 2/3 * 4R^2。
以上是针对填空题的几种解题策略，包括直接法与定义法、特殊化法、数形结合法、构造法和等价转化法，每个方法都通过实例进行了详细解释和应用。掌握这些技巧对于解答高考数学填空题至关重要。
