在高中数学中，导数是研究函数变化率的重要工具，特别是在寻找函数的最值问题上。函数的最值，如最大值和最小值，对于理解函数的行为和解决实际问题至关重要。在导数及其应用这一章节中，我们通常通过求导来判断函数的单调性，从而确定函数在指定区间内的极值。
1. 对于函数 f(x)=x^3+3x，当 |x|≤1 时，由于其导数 f'(x)=3x^2+3 ≥ 0，我们可以得知函数在整个区间内单调递增。因此，当 x = -1 时取得最小值，当 x = 1 时取得最大值，选项 B 正确。
2. 函数 f(x)=x-sin x 在 x∈ 上，由于 f'(x)=1-cos x ≥ 0，函数在整个区间内单调递增，所以在 x=π 时取得最大值，即 f(π)=π-sin π=π，选项 C 正确。
3. 函数 f(x)=2sin x-x，在区间 上，通过求导找到临界点 x= ，并分析导数符号变化，确定 x= 为最大值点，最大值为 f()=- ，选项 A 正确。
4. 函数 f(x)=x^3-2x^2+1 在区间 [-1,2] 上，通过求导 f'(x)=3x^2-4x 并找出根 x=0 和 x= ，分析函数单调性，可以得到函数在 x=0 处取得极大值 1，而在 x=-1 和 x=2 处取得极小值，比较这些极值和端点值，最大值为 1，最小值为 -2，选项 A 正确。
5. 函数 f(x)=x^3-3x^2+5 在区间 [-1,1] 上，通过求导同样方法分析，可得最大值为 f(0)=5，选项 5 正确。
6. 函数 f(x)=sin x-2x-a 在 [0,π] 上单调递减，因此最大值在 x=0 处取得，即 f(0)=-a=-1，得到 a=1。
7. 函数 g(x)=x^3-3x^2+2，(1) 函数在 (0,m) 单调递减，意味着 m 需要小于或等于临界点 x=2，所以 0<m≤2；(2) 要使函数在 (-∞,n] 上的最大值为 2，则 n 需在 0 和 3 之间，包括 0 但不包括 3，即 0≤n<3。
8. 函数 f(x)=-x^2+mx+1 在区间 [-2,-1] 上的最大值是极大值，意味着临界点 x= 在区间内，因此 -2<<-1，得出 m 的范围是 (-4,-2)，选项 A 正确。
9. 函数 f(x)=ln x-x^2- x，通过求导和分析单调性，可知函数在 x=1 处取得极大值，也是最大值，最大值为 f(1)=- ，选项 -1 正确。
10. 函数 f(x)=4x^3+ax^2+bx+5 在 x=1 处的切线方程为 y=-12x，求导后利用切线斜率确定 a 和 b，再分析函数在 [-3,1] 上的最大值，得到最大值为 f(-1)=16。
11. 对于 f(x)=x+xln x，不等式 k(x-2)<f(x) 对 x>2 恒成立，化简得到 k<= ，考虑函数 F(x)= 的单调性，求解 k 的最大整数值。
以上内容展示了如何利用导数来求解函数的最值，这在高中数学中是一项基础且重要的技能，不仅需要掌握求导法则，还要理解函数单调性与极值的关系，并能应用到实际问题中。通过这些题目，学生可以深化对导数应用的理解，提高解决问题的能力。
