2017_2018学年高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.2习题精选北师大版必修5

在高中数学的学习中，一元二次不等式是至关重要的一个知识点，主要涉及到不等式的解法、性质以及实际应用。以下是对所给习题的详细解析和相关知识点的总结： 1. 函数的定义域：题目中的第一题考察了对数函数的定义域。对于函数 $f(x)=\log_a{x}$，其定义域需满足 $x > 0$，因为底数$a$未给出，通常默认为正数且不等于1。对于$f(x)=\log{(x-1)(x-4)}$，要求$(x-1)(x-4) > 0$，解得$x \in (1,4)$，因此定义域为A选项。 2. 不等式的解集：第二题中，对于不等式$(1-ax)^2 < 1$，展开后得到$aix(aix-2) < 0$。由于$ai > 0$，我们需要找到$x$使得$x < 0$，解得$x \in (0, \frac{1}{a_i})$。为了满足对所有$a1, a2, a3$都成立，取交集得到$x \in (0, \frac{1}{\sqrt[3]{a_1a_2a_3}})$，即选择B选项。 3. 复合不等式的解集：第三题通过画出不等式$x > \frac{1}{x^2-1}$的示意图，我们可以发现$x^2-1$需要在0附近变化，解得$x \in (-1, 0) \cup (1, +\infty)$。 4. 函数值恒正：第四题要求对任意$a \in [-1, 1]$，$f(x)=x^2+(a-4)x+4-2a$的值都大于0。这可以通过构造关于$a$的二次函数$g(a)$来解决，找到$x$的取值范围，最终解得$x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$。 5. 二次不等式与根的关系：第五题中，不等式$x^2+px+q < 0$的解集为$(1, 2)$意味着$x^2+px+q=(x-1)(x-2)$，因此不等式$\frac{1}{x^2+px+q} > 0$等价于$(x-1)(x-2)(x+1)(x-6) > 0$，解得$x \in (-\infty, -1) \cup (1, 2) \cup (6, +\infty)$。 6. 穿针引线法：第六题使用穿针引线法解不等式$(x-2)^2(x-3)(x+1) < 0$，得出$x \in (-1, 2) \cup (2, 3)$。 7. 分式不等式解集与解的关系：第七题中，解集为$x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$意味着$(a-1)x+1$与$x-1$符号相反，由此解得$a=\frac{1}{2}$。 8. 二次函数根的分布：第八题中，根据两根分布条件，二次方程的较小根小于-1，较大根大于1，解得$m \in (0, 1)$。 9. 销售额问题：第九题是一道实际应用题，涉及指数增长模型。设x%为增长率，通过建立不等式并解得$x \geq 20$。 10. 复杂不等式解法：第十题分别解了两个不等式(1)和(2)，涉及绝对值和二次不等式，解出相应的解集。 11. 不等式解法：第十一题根据$a$的符号分类讨论，得出不同情况下的解集。 12. 不等式恒成立：第十二题中，不等式$mx^2+2(m+1)x+9m+4 > 0$对所有实数$x$恒成立，考虑$m=0$和$m \neq 0$两种情况，结合判别式得出$m > -\frac{1}{4}$。 以上是针对一元二次不等式及其应用的解析，涵盖了函数定义域、不等式解法、函数恒正条件、二次函数根的分布以及不等式恒成立问题等多个方面。学习这些知识点有助于深入理解一元二次不等式的概念，并能灵活运用到实际问题中。