二次函数在初中数学中占有重要地位，其图像与性质是中考数学的重要考点。二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，其中a决定了开口方向，b决定了对称轴的位置，c是y轴截距。
1. 二次函数的顶点坐标可以通过公式 (-b/(2a), c - b^2/(4a)) 得到，例如题目中的 y=x^2-2x+2，顶点坐标计算后为 (1, 3)，对应选项C。
2. 函数 y=2x^2+4x-1 对称轴为x = -b/(2a)，即 x = -4/(2*2) = -1，对称轴在y轴右侧，且a > 0，所以当x < -1时，y随x增大而减小，最小值在顶点处取得，为2*(-1)^2 + 4*(-1) - 1 = -3，对应选项D。
3. 平移规律是左加右减，上加下减。将 y=x^2 平移到 y=(x-2)^2-1，需要向右平移2个单位，再向下平移1个单位，对应选项D。
4. 由二次函数图像可得，直线y=ax+cb不会经过第四象限，因为二次函数开口向上，直线y=ax+cb与y轴交点的纵坐标为c，与x轴交点的横坐标为-c/a，根据图像，c/a为正，说明直线会穿过第一象限，但不会到达第四象限。
5. 图像的顶点在最左侧，且开口向上，说明顶点的x坐标为-1，y坐标为3，因此函数表达式为 y=3(x+1)^2+3，对应选项B。
6. 当x≥2时，函数y=ax^2+2ax+3a^2+3随x增大而增大，说明对称轴x=-b/(2a)≤2，即-2a≤4，由于a > 0，解得a≥1。同时，当-2≤x≤1时，最大值9在端点取得，即1或-2代入得9，解得a=1。
7. 函数y=x^2-2x+1的对称轴为x=1，当a≤x≤a+1时，最小值1在x=a或x=a+1处取得，解得a=-1或2。
8. 顶点D位于直线y=-2与x轴之间，说明顶点的y坐标大于-2，即顶点的y坐标为-1/2*(b/2)^2+c，结合顶点坐标公式，可推断出l与直线y=-1的交点可能为0个，1个或2个，对应选项C。
9. 二次函数y=x^2-4x+k的顶点位于x轴下方，即判别式Δ=b^2-4ac<0，解得k<4。
10. 由图像可知，对称轴x=1，说明-b/(2a)=1，推出2a+b=0，③正确；顶点在x轴下方，说明4ac-b^2<0，即4ac<(2a)^2，推出abc<0，①错误；由图像可见，x1和x2是x轴的交点，所以方程ax^2+bx+c=0的两个根是x1=1-√(4ac-b^2)/2a，x2=1+√(4ac-b^2)/2a，不能直接判断为-1和3，②错误；由于对称轴在x=1，且开口向上，所以x>1时，y随x增大而增大，④错误。
11. 由于二次函数y=x^2-4x-1的开口向上，对称轴x=2，所以在1<x1<2时，y1小于在3<x2<4时的y2，即y1<y2。
12. 函数y=-2x^2+4x+6的顶点坐标可通过公式计算得到，图像与x轴的交点坐标是通过解y=0得到的x值。增大区间是函数开口方向相反的一侧，y≤6的解集需解不等式并结合图像确定。
13. 函数y=2(x-1)(x-m-3)的图像与x轴的交点由方程2(x-1)(x-m-3)=0得出，总有一个公共点是x=1，另一交点取决于m的值。与y轴交点在x轴上方，说明c > 0，即2(-m-3) > 0，解得m < -3。
14. 二次函数图像翻折后的新函数与直线y=-x+m有4个交点，意味着直线在原图像上方有两个交点，在下方也有两个交点，通过分析新图像与原图像的关系，可以确定m的范围。
15. 直线y=4x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点，通过坐标计算得到A和B的坐标，然后根据抛物线经过A点，求得a的值。平移后C点坐标计算，再求抛物线对称轴。结合BC线段与抛物线的交点情况，确定a的取值范围。
以上是对二次函数图像与性质的详细解析，包括顶点坐标、对称轴位置、增减性、平移规律、图像特征等方面的知识点。
