【知识点详解】
1. 函数的基本性质：题目中提到了函数$f(x) = ax^3$，通过$f(1)$的值求解实数$a$。这是考察函数图像中的一个点如何确定函数的参数。根据$f(1) = a \cdot 1^3 = 3 - $，可以解出$a$的值，这是利用了函数的定义。
2. 椭圆的性质：第二题涉及椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，焦距是$2c$，而$c^2 = a^2 - b^2$。题目要求求解焦距，可以直接利用这些公式来求解。
3. 抛物线的方程：第三题中，抛物线的方程为$y^2 = 2px$，已知它经过点$(1,4)$，可以将点的坐标代入方程中求解$p$，进而确定焦点坐标，因为对于标准形式的抛物线，焦点坐标是$(\frac{p}{2}, 0)$。
4. 分层抽样：第四题中提到从不同层次的人群中按比例抽取样本进行健康检查，这是统计学中的分层抽样方法，用于确保每个层次的代表性。根据总人数和各类人员的比例，可以计算出每个层次应抽取的人数。
5. 双曲线的几何性质：第五题考察双曲线的方程$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，根据焦点坐标$F_1(-5,0)$和$F_2(5,0)$，可以利用$c^2 = a^2 + b^2$来求解$b$。
6. 曲线的切线斜率：第六题涉及到函数的导数和切线问题。根据函数$y = 3\ln x - $的一条切线斜率，可以利用导数找到切点的横坐标，因为导数在切点处等于切线的斜率。
7. 程序流程图的理解：第七题是一个逻辑判断的程序流程图，要求输出的数是根据流程图执行的结果，需要理解流程图中的条件判断和循环结构。
8. 充分条件与必要条件：第八题考察逻辑推理，"a=1 且 b=2"是否是"a^2 + b^2 = 2a + 4b + 5"的充分条件、必要条件或既不充分也不必要条件。可以通过代入法或推理来确定。
9. 曲线方程的几何意义：第九题中给出了两个方程，要求判断它们可能表示的图形，这需要理解不同的曲线方程所对应的图形形状。
10. 椭圆的几何性质：第十题涉及椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，以及椭圆上的点到焦点的距离和椭圆离心率的关系。离心率$e$定义为$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$，题目中给出了$|PF_1| = |F_1F_2|$和$cos \angle PF_2F_1$，可以用来求解离心率。
11. 命题否定：第十一题中，存在量词命题的否定是全称量词命题的否定，即对于所有$x$，$x^2 + 2x + 3 > 0$。
12. 极值问题：第十二题中，要求找到使得耗电量$y$最小的速度$x$，这通常涉及到微积分中的极值问题，需要求解函数的导数并找出导数为零的点。
13. 函数的单调性：第十三题要求确定函数的单调增区间，需要求解函数的导数，并找出导数大于零的区间。
14. 抛物线的标准方程：第十四题中，根据抛物线上点（2，m）到焦点的距离是$\sqrt{2}$，可以利用抛物线的定义来求解抛物线方程。
15. 极大值问题：第十五题中，函数$f(x) = x(x^2 - c)^2$在$x = 2 - $处有极大值，需要通过求导找到导数为零的点，并验证这个点是否是极大值点。
16. 双曲线的标准方程：第十六题涉及双曲线的性质，包括离心率和渐近线，通过已知信息可以求解双曲线的标准方程及其渐近线方程。
17. 导数的几何意义：第十七题要求求解函数的单调递增区间及切线方程，需要用到导数来判断函数的单调性，并利用导数的几何意义来求解切线方程。
18. 直线与抛物线的交点问题：第十八题中，直线$y = kx - 2$与抛物线$y^2 = 8x$的交点问题，可以通过联立这两个方程，结合中点坐标公式来求解$k$的值。
19. 频数与频率统计分析：第十九题涉及统计学中的频数分布和频率分布直方图，需要分析数据并根据图表得出结论。
这些题目涵盖了高中数学的多个核心概念，包括函数性质、圆锥曲线的几何性质、概率统计、极值问题、导数的几何意义等，都是高中数学学习中的重点和难点。解答这些问题需要扎实的数学基础知识和一定的问题解决能力。
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