人教版高中数学必修3全套教（学）案.doc

【知识点详解】 1. **辗转相除法**：也称为欧几里得算法，是由古希腊数学家欧几里得提出的一种求解两个正整数最大公约数的算法。算法的核心思想是：对于两个正整数m和n，如果m除以n的余数为r，则m和n的最大公约数等于n和r的最大公约数。反复进行此过程，直到余数为0，此时的除数即为最大公约数。辗转相除法在实际运算中可以借助于程序实现，通常使用循环结构。 2. **更相减损术**：是中国古代数学著作《九章算术》中提出的一种求最大公约数的方法。其基本步骤是：取两个正整数，不断用较大的数减去较小的数，直到两个数相等，该等数即为最大公约数。若过程中遇到偶数，可以进行约分以加速运算。这种方法在古代没有计算机辅助的情况下，是一种有效的手工计算方法。 3. **穷举法（枚举法）**：在求最大公约数的问题中，穷举法是指从两个数中较小的数开始，逐步列举所有可能的公约数，直到找到最大的一个。虽然这种方法在数据规模较大时效率较低，但在较小的范围内仍是一种可行的解题策略。 4. **短除法**：是另一种求最大公约数的方法，适用于两个数有较大公共质因数的情况。通过连续去除两数的公共质因数，直至得到的两个数互质，然后将所有去除的质因数相乘，得到的结果即为最大公约数。 5. **程序框图与算法程序设计**：在上述的辗转相除法中，我们可以看到算法的程序框图和程序设计，这展示了如何将算法思想转化为具体的计算机程序。在程序中，通常使用循环结构（如WHILE或DO...LOOP）来执行辗转相除法的步骤，直到满足结束条件（余数为0）。 6. **算法的理解与应用**：在教学过程中，理解算法的转化过程至关重要。例如，将求8251与6105的最大公约数转化为求6105与2146的最大公约数，是因为根据辗转相除法的性质，两个数的最大公约数不会因为减去一个倍数而改变，这体现了算法的有效性和普适性。 7. **算法的历史与文化背景**：题目中的内容提到了东西方在处理问题方式上的差异，例如辗转相除法与更相减损术分别代表了西方和东方的文化智慧。这表明数学不仅是科学，也是文化的一部分，反映了不同历史时期和地域的思维方式。 总结来说，人教版高中数学必修3的这部分内容重点讲解了辗转相除法和更相减损术两种求解最大公约数的算法，以及它们在实际问题中的应用，同时涉及了穷举法和短除法作为对比，旨在帮助学生理解算法的逻辑和数学思维。此外，还强调了算法的程序表示和教学实践中应注意的问题。