【向量的概念与表示】
向量是数学中一种表示既有大小又有方向的量，它起源于现实生活中诸如力、速度、位移等物理概念。在高中一年级数学必修4的第二章，我们将深入探讨平面向量。向量的定义是具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示，其起点和终点分别代表了向量的起点和终点。向量可以用图形表示，即以起点为原点，终点为端点的有向线段；也可以用字母表示，如向量a、b等。
向量的几个核心概念如下：
1. **向量的模**：向量的长度，表示向量的大小，记作|a|或mod(a)。
2. **零向量**：长度为零的向量，通常记作0或**0**，它指向任何点都是相同的向量。
3. **单位向量**：模为1的向量，表示方向，例如在平面直角坐标系中，起点在原点的单位向量终点形成的轨迹是单位圆。
4. **平行向量**：方向相同或相反的向量，它们在二维空间中可以互相平移重合。
5. **共线向量**：方向相同或相反且在同一直线上的向量，这并不意味着它们必须是相反向量。
6. **相等向量**：大小相等且方向相同的向量，即使起点不同，只要方向和长度一致，两个向量就相等。
区分平行向量、相等向量和共线向量是学习的重点。平行向量可能相等，也可能只是方向相同；相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等，除非它们的大小也相等。
【典型例题解析】
例1中，正确的理解应为：
（1）零向量虽然没有长度，但有方向，它是任意方向的；
（2）平面中的单位向量有无数个，方向各异；
（3）方向相反的向量是共线向量，但共线向量可以方向相同；
（4）如果ar和br是共线向量，且/ /bcrr，那么ar和cr可能方向相同，也可能相反；
（5）相等向量一定是共线向量，因为它们方向相同且长度相等。
例2中，要找到与EFuuur共线、相等或判断向量是否相等，需要根据正六边形的性质和向量的基本概念进行分析。
【课堂练习】
1. 错误的判断应修正为：
（1）向量ABuuur和CDuuur共线，意味着它们在同一直线上，但ABCD四点不一定共线；
（2）单位向量大小相等，但方向可以不同，因此它们不一定相等；
（3）一个向量与其相反向量大小相等，但方向相反，所以不相等；
（4）平行四边形ABCD是当且仅当AB=DC，AD=BC；
（5）共线向量起点不同，终点可能相同也可能不同，取决于它们的长度。
2. 如果||2OA=uuur，则点A构成的图形是半径为2的圆。
3. 四边形ABCD的形状无法仅凭向量信息确定，需要更多条件。
4. 与ar方向相同的单位向量是ar/|ar|，其中|ar|是向量ar的模。
5. 要证明EFNMuuuruuuur，利用中点性质和向量相加法则。
6. 飞机的飞行路径可以通过向量加法来描述。从甲到乙的向量是北偏东30°，然后乙到丙是南偏东30°，最后丙到丁是西南方向。将这些向量相加，可以得到丁相对于甲的向量，从而确定丁的方位和距离。
【课堂小结】
在接下来的2.2.1向量的加法中，我们将学习向量加法的定义、三角法则和平行四边形法则。向量的加法遵循交换律（a+b=b+a）和结合律（(a+b)+c=a+(b+c)），并且能够通过这两种法则来构造和向量。向量加法的几何作法包括三角形法则和平行四边形法则，三角形法则适用于任何两个向量，而平行四边形法则仅适用于非共线向量。掌握这些基本概念和法则对于后续的向量运算和应用至关重要。
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