multhus模型与阻滞增长模型预测中国未来人口数变化

### 中国未来人口数变化预测：Multhus模型与阻滞增长模型 #### 一、实验背景及目的 随着社会的发展和技术的进步，对于人口增长趋势的研究变得尤为重要。本实验旨在运用数学建模的方法来预测中国未来的人口变化趋势，具体目标包括： 1. **熟练掌握阻滞增长模型的应用场合及方法**：了解如何利用该模型分析人口增长的趋势及其限制因素。 2. **掌握Multhus模型和阻滞增长模型的求解方法**：学会使用Matlab软件进行模型的求解和绘图预测。 #### 二、实验内容 实验内容主要分为以下几个部分： 1. **数据收集**：收集中国从民国时期到2004年的历次人口普查数据。 2. **模型建立**：基于收集到的数据，建立Multhus模型和阻滞增长模型，并利用这些模型预测未来至2050年的人口数量变化。 3. **模型求解**：使用Matlab软件对模型进行求解并绘制预测结果。 4. **实验总结**：对比分析两种模型的预测结果，并讨论其合理性。 #### 三、数据来源及分析 为了进行准确的预测，我们从网上查询了中国从1909年到2004年的历次人口普查数据，具体如下表所示： | 年份（年） | 1909 | 1931 | 1953 | 1964 | 1982 | 1990 | 2004 | |------------|------|------|------|------|------|------|------| | t | 0 | 22 | 44 | 55 | 73 | 81 | 95 | | 人口数 x(t)| 37000| 47480| 58260| 69122| 100391| 113051| 129988| 其中，人口数单位为万人，t表示相对于1909年的年数。 #### 四、模型建立 ##### Multhus模型（指数增长模型） 1. **基本假设**： - 单位时间的人口总量增长与当时的人口数呈正比，比例常数为r。 - t时刻的人口数x(t)视为连续、可微的函数。 2. **模型分析**： - 根据假设得出模型方程为：\[ \frac{dx}{dt} = r \cdot x(t) \] 其解为：\[ x(t) = x_0 \cdot e^{rt} \] 其中\(x_0\)为初始时刻的人口数。 3. **模型求解**： - 使用Matlab软件中的曲线拟合工具箱，得到指数增长模型的参数为：\[ a = 3.343 \times 10^4 \] \[ b = 0.01452 \] 因此，人口数随时间变化的函数为：\[ x(t) = 3.343 \times 10^4 \cdot e^{0.01452t} \] 4. **预测结果**： - 到2050年（即t=141），预测中国人口数约为26亿。 ##### 阻滞增长模型 1. **模型假设**： - 人口增长率r(x)与当前人口数x(t)成反比，且r(x)为x的线性函数。 - 考虑最大人口容量\[ K \]，当x = K时，人口增长率为0。 2. **模型分析**： - 模型方程为：\[ \frac{dx}{dt} = r \cdot (1 - \frac{x(t)}{K}) \cdot x(t) \] 其解为：\[ x(t) = \frac{K}{1 + (\frac{K}{x_0} - 1)e^{-rt}} \] 3. **模型求解**： - 使用Matlab软件中的曲线拟合工具箱，得到阻滞增长模型的参数为：\[ a = 4.458 \times 10^8 \] \[ b = 0.01326 \] 因此，人口数随时间变化的函数为：\[ x(t) = \frac{4.458 \times 10^8}{1 + (\frac{4.458 \times 10^8}{37000} - 1)e^{-0.01326t}} \] 4. **预测结果**： - 到2050年（即t=141），预测中国人口数约为24亿。 #### 五、实验总结 通过本次实验，我们不仅熟悉了Multhus模型和阻滞增长模型的基本原理和应用方法，还学会了如何使用Matlab软件进行模型求解和绘图预测。根据两种模型的预测结果可以看出，尽管最终预测的人口数量有所差异（Multhus模型预测为26亿，而阻滞增长模型预测为24亿），但两者都显示出未来人口增长趋势将逐渐放缓直至趋于稳定的状态。这反映了阻滞增长模型考虑到了资源有限性和环境承载力等因素，使得预测结果更为接近实际情况。