人口指数Malthus增长模型和Logistic模型，附带matlab代码

人口指数增长模型和Logistic模型 人口增长模型是研究人口增长规律的数学模型，根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据，确定人口指数增长模型和Logistic模型中的待定参数，估计出美国2010年的人口，探讨指数增长模型和Logistic模型的应用和优缺点。 指数增长模型 指数增长模型是指人口增长率为常数的数学模型，记为r，人口在时刻t的数量为x(t)，初始时刻的人口为x0，则有： dx/dt = rx 经拟合得到： x(t) = x0 \* exp(rt) 其中x0 = 1.2480e-016，r = 0.0214，则得到人口关于时间的函数为： x(t) = 1.2480e-016 \* exp(0.0214t) 输入：t = 2010;x0 = 1.2480e-016;x(t) = x0 \* exp(r \* t) = 598.3529 即在指数增长模型下，到2010年美国人口大约为598.3529万。 Logistic模型 Logistic模型是指人口增长率随着人口数量的增加而减少的数学模型，假设人口的增长率为x的减函数，如设r(x) = r(1 - x/xm)，其中r为固有增长率(x很小时)，xm为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到以下微分方程： dx/dt = rx(1 - x/xm) 经拟合得到： x(t) = a(1) / (1 + (a(1)/3.9 - 1) \* exp(-a(2) \* (t - 1790))) 其中a(1) = 311.9531，a(2) = 0.02798178，则得到美国2010年的人口估计为267.1947万。 对比分析 指数增长模型和Logistic模型都是研究人口增长规律的重要模型，但它们有着不同的假设和应用场景。指数增长模型假设人口增长率为常数，且忽视了环境和资源对人口增长的限制，而Logistic模型则考虑了人口增长的限制和阻滞作用。在实际应用中，指数增长模型适合研究人口增长的初期阶段，而Logistic模型适合研究人口增长的后期阶段。 Matlab代码 clear all t=1790:10:1980; x(t)=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ]; y=log(x(t)); a=polyfit(t,y,1) r=a(1) x0=exp(a(2)) x1=x0.*exp(r.*t); plot(t,x(t),'r',t,x1,'b') function f=curvefit_fun2 (a,t) f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-a(2)*(t-1790))); main.m文件： x=1790:10:1990; y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4]; plot(x,y,'*',x,y); hold on; a0=[0.001,1]; a=lsqcurvefit('curvefit_fun2',a0,x,y); disp(['a=' num2str(a)]); xi=1790:5:2020; yi=curvefit_fun2(a,xi); plot(xi,yi,'r'); x1=2010; y1=curvefit_fun2(a,x1) hold off