【知识点解析】
1. **代数基础**
- 乘方运算规则：题目中的第1题涉及了幂的乘方运算，正确的运算是\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)，所以答案是D，\(a^3\cdot a^3 = a^6\)。
- 一元二次方程的根与系数的关系：第2题中，通过已知的一个根可以求出另一个根和常数项k的值，根据韦达定理，两根之和等于-\(\frac{b}{a}\)，所以另一个根是\(x_2 = -\frac{-7}{2} - 2 = \frac{3}{2}\)，且两根之积等于\(k\)，即\(2 \cdot \frac{3}{2} = 3\)，因此\(k = 3\)，答案是C。
- 二次方程的根的判别式：第4题中，判断二次函数的顶点坐标和对称轴，这涉及到二次函数的顶点公式\(x = -\frac{b}{2a}\)和\(y = \frac{4ac-b^2}{4a}\)。对于函数\(y=-x^2-4x+2\)，顶点坐标为\((-2,6)\)，对称轴是\(x=-2\)。
2. **概率与几何**
- 投掷骰子的概率问题：第3题，若二次方程\(2x^2 - 20kx + c = 0\)有两个不等实数根，需判别式\(D = b^2 - 4ac > 0\)。对于骰子投掷得到的\(k\)，需计算满足\(20k^2 - 4c > 0\)的情况，分析后得出概率P。
3. **函数图像与应用**
- 函数图像分析：第6题中，描述了一个物体在水中受浮力影响的物理情景，要求分析弹簧秤读数y随物体高度x变化的函数关系。这涉及到浮力公式和重力的平衡，以及函数的单调性。
4. **几何图形性质**
- 四边形性质：第8题，连续连接四边形的中点形成的新四边形性质，这是一个递归的过程，每次连接后会保持菱形或矩形的性质，通过推理可以得出2006次连接后的形状。
- 直角三角形与特殊角：第9题中，利用直角三角形的性质和比例关系求解角度。
5. **组合问题**
- 排列组合：第14题，四个人互换贺年卡的问题，属于组合问题，可以通过组合公式计算不同拿法的数量。
6. **数列与函数**
- 规律探究：第15题中，定义了一个新的函数形式，\(f(x) = x^{x^{-1}}\)，要求计算一系列项的和，这涉及到指数函数的性质和数列求和。
7. **不等式与数轴表示**
- 不等式解集：第16题（1）解不等式组，并在数轴上表示，这是典型的不等式求解问题，需要找到所有可能的x值的区间。
8. **几何证明**
- 圆的性质：第17题中，证明等腰三角形的底边上的中点在以底边为直径的圆上，这涉及到圆的性质和等腰三角形的性质。
9. **方程的实数根**
- 方程的根：第18题（1）证明无论k为何值，方程总有实数根，需要用到判别式来证明；（2）利用方程的根作为等腰三角形的边长，求周长，这涉及到三角形的性质和方程的解法。
以上知识点涵盖了高中一年级数学的主要内容，包括代数、几何、概率、函数、组合问题等多个领域，都是学习数学的重要基础。
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