这份资料是针对高一新生设计的数学入学分班考试卷，包含了选择题、填空题和解答题，旨在考察学生的基础数学知识和能力。以下是试卷中涉及的主要知识点：
1. **反比例函数**：题目中提到直线$21yx$与反比例函数$kyx$的交点，这涉及到反比例函数的性质和直线与反比例函数的交点问题。反比例函数的一般形式是$kyx$，其中$k$为常数，图像是通过原点的双曲线。
2. **概率**：在第二题中，考察了从四位同学中选取两人的概率问题，涉及到组合和概率的基本概念。
3. **整数指数幂运算**：第三题考察了整数指数幂的加减乘除法则，如$3^3 \cdot 3^2$、$1/a^2 - 1/a^1$等。
4. **分段函数**：第四题的函数$f(n)$是一个分段函数，需要根据给定的条件确定函数在不同区间内的值。
5. **函数性质**：第五题考察了函数的加法性质及函数值的计算。
6. **不等式**：第六题涉及实数的性质，比如非零实数的平方是非负数，以及不等式的性质。
7. **函数定义域**：第七题中自变量$x$的取值范围是函数定义域的计算。
8. **数列求和**：第八题要求计算一个等差数列的和，需要用到等差数列的求和公式。
9. **几何概率**：第九题涉及到几何概率问题，小猫停在特定区域的概率计算。
10. **二次方程根的性质**：第十题是关于二次方程根的问题，考察了判别式和根的个数。
11. **重复试验概率**：第十一题是概率中的多次独立重复试验，需要用到乘法规则。
12. **代数恒等式**：第十二题中利用代数恒等式$a/b + b/a = (a^2 + b^2)/ab$简化表达式。
13. **勾股定理**：第十三题在直角三角形中应用勾股定理来求解边长。
14. **数列的递推关系**：第十四题涉及数列的递推关系和规律的发现，要求找到含有$n$的表达式。
15. **循环程序与条件判断**：第十五题涉及程序设计中的循环结构和条件语句，需要分析变量变化直到满足停止条件。
16. **三角形的性质与化简**：第十六题中涉及三角形边长关系的化简，需要用到余弦定理或代数方法。
17. **代数表达式的化简与求值**：第十七题要求对复杂的代数表达式进行化简，然后代入特定的值求解。
18. **平面几何证明**：第十八题中利用平面几何的知识，建立坐标系进行几何证明，涉及到等边三角形和直角三角形的性质。
19. **不等式推导与应用**：第十九题中给出了一个重要的不等式$2ab \geq |a-b|$，并要求证明其他类似的不等式，以及应用这些不等式解决实际问题。
20. **函数的不动点**：第二十题涉及到函数不动点的概念，即函数值等于自变量值的点，需要找到函数的不动点或确定其存在的条件。
21. **一元二次方程与几何关系**：第二十一题结合了一元二次方程的根与三角形边长的关系，讨论了不论$k$为何值时方程总有实根、何时三角形是直角三角形以及何时是等腰三角形的情况。
这些知识点覆盖了高中数学的多个重要领域，包括函数、概率、不等式、几何、数列、代数运算和方程等，是高一新生必须掌握的基础知识。通过这样的考试，可以评估学生的基础数学水平，并为后续的数学学习奠定基础。
