最优化方法在数学和计算机科学领域中扮演着至关重要的角色，尤其在机器学习、数据分析和工程问题求解中。BFGS（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）算法是一种广泛应用的拟牛顿法，它在解决无约束优化问题时表现出优秀的性能。本文将深入探讨BFGS算法的基本原理、优缺点以及其实现方式。
一、牛顿法与拟牛顿法
牛顿法是一种基于二阶导数的优化方法，通过迭代更新来逼近函数的极小值。牛顿法的优点在于其快速的收敛性，但需要计算目标函数的Hessian矩阵（二阶导数矩阵），这在高维问题中可能非常昂贵。此外，Hessian矩阵可能非正定，导致迭代方向不正确，甚至在奇异时导致算法失败。
拟牛顿法，如BFGS，旨在解决牛顿法的这些问题。它不需要直接计算Hessian矩阵，而是通过构建一个近似Hessian矩阵来实现优化。BFGS算法是拟牛顿法的一种，它使用梯度信息和有限次的函数和梯度评估来构造一个正定的Hessian矩阵近似。
二、BFGS算法的迭代过程
BFGS算法的核心在于每次迭代中如何更新近似Hessian矩阵。初始时，通常选择一个单位阵作为Hessian的近似。在第k次迭代中，算法通过以下步骤更新：
1. 计算梯度差：\( s_k = x_{k+1} - x_k \)
2. 计算函数值差的向量：\( y_k = g_{k+1} - g_k \)，其中\( g_k \)是第k次迭代的梯度。
3. 更新Hessian矩阵的近似值\( B_k \)：\( B_{k+1} = B_k + \frac{y_k y_k^T}{y_k^T s_k} - \frac{B_k s_k s_k^T B_k}{s_k^T B_k s_k} \)
这里的\( B_k \)是通过Sherman-Morrison公式简化得到的，避免了直接求解逆矩阵。
三、线搜索方法
线搜索是确定每一步迭代步长α的过程，以确保沿着当前搜索方向取得足够的下降。BFGS中常用的方法是二分法，其基本思路是：
1. 设定初始搜索范围，如从0到1。
2. 将范围分为两半，计算中间点α对应的函数值。
3. 如果新点的函数值比原点小，说明α过大，缩小搜索范围至α的左侧；反之，缩小至右侧。
4. 重复上述过程，直到找到满足下降条件的α，或者搜索范围达到预定的最小间隔η。
四、BFGS算法的优势与局限性
BFGS算法的主要优点包括：
- 不需要直接计算Hessian矩阵，降低了计算复杂性。
- 在很多情况下具有全局收敛性。
- 实践中通常表现出快速的局部收敛速度。
然而，BFGS也存在局限性：
- 对初始点的选择敏感，好的初始点可能加速收敛，而坏的初始点可能导致算法失败。
- 当函数有多个局部极小值时，BFGS可能陷入非全局最优解。
- 对于大型稀疏问题，BFGS的内存需求较高，因为它需要存储和更新Hessian的近似矩阵。
BFGS算法因其高效和实用性在许多优化问题中成为首选方法。通过结合线搜索策略，BFGS能够适应不同情况下的函数优化，尽管它也有一些局限性，但在实际应用中，这些可以通过良好的初始化和调整参数来缓解。
