优化设计-fmincon函数介绍-序列二次规划(SQP)-subspace_trust_region-active_sett

### 优化设计-fmincon函数介绍-序列二次规划(SQP)-subspace_trust_region-active_set #### fmincon函数概述 `fmincon`函数是MATLAB中的一个核心优化工具，用于解决受约束的非线性优化问题。该函数特别适用于求解具有多个变量和复杂约束条件的优化问题。它能够寻找使目标函数最小化的点，同时满足给定的一系列约束条件。 #### 数学模型 `fmincon`函数的目标是最小化一个非线性函数F(X)，同时确保X满足以下约束： - **线性不等式约束**：A * X ≤ B - **线性等式约束**：Aeq * X = Beq - **非线性不等式约束**：C(X) ≤ 0 - **非线性等式约束**：Ceq(X) = 0 - **边界约束**：LB ≤ X ≤ UB 其中，X、B、Beq、LB 和 UB 为向量，A 和 Aeq 为矩阵，C(X) 和 Ceq(X) 是返回标量的函数，f(x)、c(x) 和 ceq(x) 可以是非线性的。 #### 调用格式 `fmincon`的调用格式如下： ```matlab [x, fval, exitflag, output] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon, options); ``` - `fun`：目标函数的句柄。 - `x0`：初始点。 - `A, b`：线性不等式约束。 - `Aeq, beq`：线性等式约束。 - `lb, ub`：下界和上界的向量。 - `nonlcon`：非线性约束函数的句柄。 - `options`：优化选项设置。 #### 返回值解释 - `x`：最优解向量。 - `fval`：目标函数在解X处的函数值。 - `exitflag`：表示算法终止状态的标志。 - `output`：包含有关优化过程的信息的结构体。 #### 序列二次规划(SQP) SQP是一种高效的优化算法，特别适合解决具有等式和不等式约束的非线性优化问题。该算法将原始问题逐步转化为一系列二次规划子问题来求解。每个子问题都是一个更简单的优化问题，可以更容易地解决。随着迭代的进行，这些子问题逐渐逼近原问题的最优解。 ##### SQP的基本步骤 1. **拉格朗日函数Hessian矩阵的更新**：使用BFGS方法计算拉格朗日函数的Hessian矩阵的近似值。这个矩阵在每次迭代中都需要更新，并且需要保持正定。 2. **二次规划问题求解**：基于当前的Hessian矩阵近似值，解决一个二次规划问题来找到一个方向。 3. **一维搜索和目标函数计算**：沿着找到的方向进行一维搜索，以找到最佳的步长。然后更新当前的解，并重新评估目标函数。 ##### Hessian矩阵的更新 Hessian矩阵的更新是通过BFGS方法实现的。具体来说，使用以下公式来更新Hessian矩阵H： \[ H_{k+1} = \left(1 + \frac{y_k^T s_k}{y_k^T y_k}\right)H_k - \frac{H_k y_k y_k^T H_k}{y_k^T y_k} + \frac{s_k s_k^T}{y_k^T s_k} \] 其中， - \(y_k = \nabla f(x_{k+1}) - \nabla f(x_k)\) - \(s_k = x_{k+1} - x_k\) #### subspace_trust_region (信赖域反射算法) 对于大规模问题，`fmincon`采用了subspace_trust_region算法。这种方法是将目标函数在一个信任区域（trust region）内进行泰勒展开，直到二阶项为止。信任区域是围绕当前点x的一个局部邻域，其中目标函数的性质可以被较好地近似。 在每次迭代中，算法试图找到一个新的点x1，使得目标函数在这个信任区域内有所降低。这种方法的优势在于它可以在每一步中都确保目标函数值的下降，并且可以有效地处理大规模问题。 #### active_set (有效集算法) 有效集算法主要用于解决具有线性约束的问题。它通过逐步构建并更新一个所谓的“有效集”，该集合包含了当前最优解所满足的活动约束。该算法通过不断地调整有效集中的约束，来寻找满足所有约束条件的最优解。 `fmincon`函数通过灵活地选择不同的算法（如SQP、subspace_trust_region 或 active_set）来适应不同规模和类型的优化问题，从而高效地找到最优解。