计算模型与算法技术：8-Dynamic Programming.ppt

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种在计算机科学和数学中广泛使用的算法设计技术，尤其在优化问题中表现突出。该方法由美国数学家理查德·贝尔曼在20世纪50年代提出，并逐渐被计算机科学领域所采纳。"编程"在这里指的是“规划”，即通过一系列步骤来构建解决方案。 动态规划的核心思想是解决具有重叠子问题的递归关系问题。它通过设置一个递归来描述解决方案与更小规模问题之间的联系，然后一次性解决这些小问题，将结果存储在一个表格中，最后从这个表格中提取出初始问题的解决方案。这种方法能够避免重复计算，显著提高效率。 以斐波那契数列为例，斐波那契数列定义为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。传统的递归方法会引发大量的重复计算，而动态规划则可以通过自底向上的迭代方式避免这个问题。例如，我们可以从F(0)和F(1)开始，逐步计算并存储每个较小斐波那契数，直到计算到F(n)。这样不仅减少了时间复杂度，还降低了空间复杂度。 除了斐波那契数列，动态规划还应用在许多其他算法中： 1. **计算二项式系数**：二项式系数出现在二项式定理中，如(a + b)^n = Σ C(n, k) * a^(n-k) * b^k。利用动态规划，可以避免递归计算时的重复，其递归关系为C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)，对于n > k > 0，且C(n, 0) = C(n, n) = 1。 2. **沃肖尔算法（Warshall's algorithm）**：用于计算图的传递闭包，即判断任意两个顶点之间是否存在路径。 3. **弗洛伊德算法（Floyd's algorithm）**：求解图中所有对顶点之间的最短路径，通过迭代更新各个节点对之间的最短距离。 4. **构建最优二叉查找树**：设计一个二叉搜索树，使得对整数集合进行搜索、插入和删除操作的平均时间复杂度最小。 5. **困难离散优化问题**：包括旅行商问题（Traveling Salesman Problem）和背包问题（Knapsack Problem），这些问题寻找在特定约束下的最优解，动态规划可以提供有效的近似或精确算法。 动态规划是一种强大的工具，它能够处理具有重叠子问题的复杂优化问题，通过有效存储中间结果，减少计算次数，提升算法效率。在学习和应用动态规划时，关键在于识别问题中的子问题结构，建立正确的状态转移方程，并合理地选择存储和检索中间结果的数据结构。