计算模型与算法技术：10-Iterative Improvement.ppt

迭代改进是一种算法设计技术，主要用于解决优化问题。该方法始于一个可行解，然后在每一步中寻找并替换当前解以获得具有更好目标函数值的可行解，直到无法找到改进为止。最后返回的可行解被认为是最佳解。值得注意的是，通常对当前解的改变是“小规模”的，也就是局部搜索。然而，迭代改进的主要挑战在于可能会陷入局部最优解，而非全局最优解。 局部搜索启发式是迭代改进的一个重要应用，其中包括： 1. **单纯形法**：单纯形法是线性规划（Linear Programming, LP）问题的一种求解算法，用于最大化或最小化线性函数，同时满足一系列线性约束。线性规划问题的目标是在非负约束条件下优化线性目标函数。例如，最大化 \( z = c1x1 + ... + cnxn \)。 2. **Ford-Fulkerson算法**：这是一种解决最大流问题的算法，旨在在一个带有容量限制的网络中找出从源节点到汇节点的最大流量。 3. **图的极大匹配**：在图论中，极大匹配是指在无向图中找到尽可能多的互不相邻的边集合。 4. **Gale-Shapley算法**：稳定婚姻问题是一个经典问题，Gale-Shapley算法可以找到男女双方都能接受的稳定匹配组合。 以线性规划为例，假设我们有如下的优化问题： **最大化** \( 3x + 5y \) **受制于** - \( x + y \leq 4 \) - \( x + 3y \leq 6 \) - \( x \geq 0, y \geq 0 \) 这个线性规划问题的可行区域是所有满足这些约束条件的点的集合。通过图形化方法，我们可以看到可行区域是一个多边形，而问题的最优解位于这个多边形的顶点上。根据极点定理，任何非空且有界的线性规划问题都有一个最优解，并且这个最优解可以在可行区域的边界顶点上找到。在这个例子中，最优解是 \( x = 3, y = 1 \)，因为在这个点，目标函数达到最大值。 迭代改进在解决这类问题时，可以从可行区域内的任意一点开始，通过移动到相邻的点来尝试改善目标函数的值，直至达到最优解。如果每次移动都遵循改善目标函数的原则，最终会到达一个无法进一步改善的点，即最优解。 总结来说，迭代改进是一种基础而强大的算法设计策略，尤其适用于优化问题。它通过局部搜索逐步接近全局最优解，尽管可能在某些情况下陷入局部最优，但通过适当的策略和技巧，如在线性规划中的单纯形法，仍能有效地找到问题的解决方案。