数据与算法课程：10 数值计算基本概念.pdf

数据与算法课程主要探讨的是数值计算的基本概念，以及非数值计算的相关内容。在数值计算领域，重点在于处理连续的变量和解空间，通常无法获得精确解，而是寻找满足特定精度要求的近似解。这类问题包括方程求解、插值、拟合和最优化等。数值计算问题的特性可以通过适定性、稳定性以及解的精确度来衡量。一个适定的问题意味着解的存在性、唯一性和连续依赖于问题参数，而病态问题即使解连续，也可能对参数变化极度敏感。 非数值计算问题，例如查找、排序、模式匹配和最短路径等，通常涉及离散的变量和有限的解空间，这些问题可能有精确解，并且求解过程相对稳定，依赖于输入的程度较小。性能通常通过时间复杂度和空间复杂度来评估。 在数值计算中，误差是一个核心概念，它反映了测量或计算结果与真实值之间的差异。误差可以分为绝对误差和相对误差，绝对误差是近似值与真值的差，而相对误差则是绝对误差与真值的比例（真值不为零时）。有效数字的概念用于量化近似数的准确程度，有效位数表示近似值中可靠数字的数量。 在实际计算中，由于数据误差、计算误差（如截断误差和舍入误差）的存在，数值计算不可避免地会引入近似。例如，计算地球表面面积时，需要对地球形状、测量半径、圆周率的值以及计算过程中的数据处理进行近似。 算法在解决这些计算问题中起到关键作用。对于线性表，有顺序表、链表和循环链表等结构，支持插入和删除操作。线性表的特例如栈和队列，以及字符串，可以使用递归和模式串匹配算法（如KMP）进行处理。非线性结构如树和图提供了更复杂的组织数据的方式，例如二叉搜索树、AVL树、Huffman树以及图的遍历、最小生成树和最短路径算法。 排序和查找是数值计算中常见的任务。非数值数据应用中，查找算法有线性查找、折半查找、散列查找和索引查找，而排序算法则包括冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序和归并排序。 数据与算法课程涵盖了数值计算的基本概念，强调了误差分析和算法在处理不同类型计算问题中的作用。无论是数值计算还是非数值计算，理解和掌握这些基本概念对于解决实际问题至关重要。通过学习，我们可以更好地设计和选择合适的算法，以高效、稳定地处理各种计算任务。