新课标2010高考数学二轮复习：专题九《分类讨论的思想》.doc

【分类讨论的思想】是高中数学复习中的重要专题，尤其在高考中占据显著位置。这个思想方法主要用于处理那些因对象性质差异而无法一次性统一解决的问题。它要求我们在分析和解决数学问题时，根据对象的本质属性进行合理分类，然后分别对每一类进行研究，最终将各分类的结果综合起来，得到整个问题的解答。 分类讨论的思想具有以下特点： 1. **逻辑性**：分类讨论具有明显的逻辑结构，每一步都需要严谨和精确。 2. **知识覆盖面广**：这类题目往往涉及到多个知识点，能全面检验学生的学习广度和深度。 3. **分析能力与技巧**：解决分类讨论问题需要学生具备良好的分析能力和分类技巧，确保分类的完整性和准确性。 4. **实际应用**：分类讨论不仅在数学理论中应用广泛，也与现实生活和高等数学紧密相关。 实施分类讨论解题的基本步骤包括： 1. **确定对象和研究范围**：清晰界定讨论的对象和需要研究的整体范围。 2. **合理分类**：依据对象的属性进行不重复、不遗漏的分类，分类标准需统一，避免层次混淆。 3. **逐类讨论**：对每一类进行详细分析，解决各自的问题。 4. **归纳总结**：将所有分类的结果整合，得出最终结论。 分类讨论的主要原因有： 1. **数学概念的特性**：例如，绝对值的定义、等比数列的前n项和等。 2. **运算规则**：如偶次方根的非负性、对数的底数和真数要求、不等式乘法的影响等。 3. **函数性质和定理限制**：函数的单调性、奇偶性等可能导致分类。 4. **几何位置的不确定性**：点、线、面的位置关系可能需要分类讨论。 5. **参数变化**：参数取值的不同可能导致问题的不同解决方案。 6. **实际问题的多样性**：实际应用问题可能涉及多种情况，需要分类处理。 以例题为例，设0 > a，函数f(x) = |1 - ln|2x||，我们需要对a和x的值进行分类讨论： 1. 当a = 1时，求曲线在x = 1处的切线方程。 2. 求函数在x ∈ [1, +∞)时的最小值。 对于第1问，当a = 1时，直接计算导数和切线方程即可。对于第2问，需要根据ex的值（ex ≥ 1和ex < 1）以及a的取值范围（a < 2e, a = 2e, a > 2e）进行分类讨论，分别找出函数的单调性，确定最小值。 通过这样的分类讨论，我们可以完整地解决这个问题，并找到所有可能的情况下的最小值。这种思维方式在解决复杂问题时具有很大的价值，因为它能够帮助我们将复杂的问题分解成可管理的部分，逐步解决，最终得到全局的答案。