幂函数经典例题答案.doc

幂函数是数学中一类重要的函数，它的一般形式为y = x^α，其中α是常数，称为幂指数。这个文档中包含了多个关于幂函数的经典例题及其解答，主要涉及幂函数的性质、图象特征以及奇偶性和单调性的判断。 例1讨论了幂函数的一些基本性质。它指出幂函数的图象不一定都通过点(0,0)和(1,1)，例如当α=-1时，幂函数y=x^-1的图象不通过原点。同时，幂函数的图象不会出现在第四象限，因为幂函数在(0, +∞)上总是非负的。另外，当α=1, 3, 1/2时，对应的幂函数y=x^α是增函数，但需要注意的是，对于幂函数y=x^α，只有当α>0时，函数在定义域上才是增函数。 例2探讨了幂函数的奇偶性和单调性。幂函数f(x)是偶函数且在(0, +∞)上递增的条件是指数为正偶数，即15(7+3t-2t^2)为偶数。通过求解t的值，发现t=1时，f(x)=x^85满足条件，因为它是一个偶函数且在(0, +∞)上递增。 例3展示了两个幂函数y=x^m和y=x^n在第一象限内的图象，并通过比较它们在x轴上方的相对位置来判断指数m和n的大小关系。根据图象，我们可以得出结论n<-1且0<m<1，这是因为指数越大，图象越靠近x轴。 例4解决了一个错误的解法，指出了解决x^2>x^(1/3)时x的取值范围的常见误区。正确做法是画出y=x^2和y=(1/3)x的图象，观察它们的交点，从而得出x的取值范围为x<0或x>1。 例5涉及幂函数的定义和单调性。已知函数f(x)是幂函数，且在(0, +∞)上递增，通过解方程m^2-m-1=1找到m的值，然后根据单调性确定m的最终值。解得m=2时，f(x)=x^3满足题目要求。 这些例子展示了幂函数的核心概念，包括幂函数的图象、奇偶性、单调性以及如何根据幂函数的性质解决问题。对于学习和理解幂函数的性质以及在实际问题中的应用，这些例子提供了宝贵的练习材料。