绝对值方程是一种特殊的数学问题，它涉及到矩阵和绝对值函数的组合，通常表示为 Ax - |x| = b，其中A是一个n×n的矩阵，x和b都是n维向量，|x|则是x的每个分量的绝对值。这种方程在理论和实际应用中都有重要的地位，因为它可以用来解决线性互补问题、线性规划、二次规划以及双矩阵对策等多种优化问题。因此，对绝对值方程的高效求解方法的研究是优化理论和算法领域的热点之一。
传统的数值方法可能难以处理绝对值方程，因为它们通常是非微分的，属于NP-hard类别，这意味着找到最优解可能是计算密集型的。Jiri Rohn和Mangasarian O.L.等人在这一领域的理论和算法方面做出了基础性的贡献，他们的工作主要围绕着解的存在性、唯一性以及算法的收敛性进行。
启发式算法，如和声搜索（Harmony Search, HS），作为一种新兴的优化工具，近年来在解决复杂问题上表现出色。HS算法模仿音乐创作过程，通过“和声”（代表可能的解）的生成、选择和改进来寻找最优解。这种算法具有简单、灵活和易于实现的特点，因此在工程、科学计算等领域得到广泛应用。
针对绝对值方程，本文提出了一种新的全局和声搜索算法（Novel Global Harmony Search, NGHS）。该算法在矩阵A的奇异值大于1的条件下设计，这确保了问题的可解性。NGHS算法结合了位置更新策略和小概率变异策略，以增强算法的全局探索能力和收敛速度。位置更新允许算法在解空间中探索不同的区域，而小概率变异策略则防止算法陷入局部最优，从而提高了算法的全局搜索性能。
实验结果显示，NGHS算法相比其他HS变体具有以下优点：
1. 强大的全局探索能力：算法能够在解空间的广阔范围内寻找潜在的最优解。
2. 快速收敛：NGHS算法能在较短的时间内达到良好的解质量。
3. 良好的数值稳定性：算法在不同规模的问题上都表现出了稳定的行为，减少了因数值敏感性导致的误差。
4. 参数较少：相比于其他复杂的优化算法，NGHS算法需要调整的参数较少，降低了使用难度。
绝对值方程的求解是一个具有挑战性的领域，而全局和声搜索算法，尤其是本文提出的NGHS算法，为这一问题提供了一个可行且有效的解决方案。未来的研究可能包括进一步优化NGHS算法的参数设置，以及将其应用于更广泛的绝对值方程实例，以验证其普适性和效率。
