因子分析法详细步骤
因子分析法是统计学中的一种多变量分析方法,用于将多个相关变量转换为少数几个不相关的综合指数。下面是因子分析法的详细步骤:
一、前言
因子分析法的主要目的是将多个相关变量转换为少数几个不相关的综合指数,这些综合指数称为公共因子(common factor)。公共因子是不能直接观测的随机变量,它们可以解释多个相关变量之间的相关性。
二、因子分析模型
设 $X=(x_1, x_2, …, x_p)’$ 为可观测的随机变量,且有 $f=(f_1,f_2,…,f_m)’$ 为公共因子,$e=(e_1,e_2,…,e_p)’$ 为特殊因子。$f$ 和 $e$ 均为不可直接观测的随机变量。$\mu=(\mu_1,\mu_2,…,\mu_p)’$ 为总体 $x$ 的均值。$A=(a_{ij})_{p*m}$ 为因子负荷矩阵。
三、因子分析的步骤
1. 输入原始数据 $x_{n*p}$,计算样本均值和方差,进行标准化计算(处理)。
2. 求样本相关系数矩阵 $R=(r_{ij})_{p*p}$。
3. 求相关系数矩阵的特征根 $\lambda_i$ ($\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_p>0$) 和相应的标准正交的特征向量 $l_i$。
4. 确定公共因子数。
5. 计算公共因子的共性方差 $h_i^2$。
6. 对载荷矩阵进行旋转,以求能更好地解释公共因子。
7. 对公共因子作出专业性的解释。
四、因子分析提取因子的方法
1. 主成分法(principal component factor):每一个公共因子的载荷系数之平方和等于对应的特征根,即该公共因子的方差。
2. 极大似然法(maximum likelihood factor):假定原变量服从正态分布,公共因子和特殊因子也服从正态分布,构造因子负荷和特殊方差的似然函数,求其极大,得到唯一解。
3. 主因子法(principal factor):设原变量的相关矩阵为 $R=(r_{ij})$,其逆矩阵为 $R^{-1}=(r_{ij})$。各变量特征方差的初始值取为逆相关矩阵对角线元素的倒数,$\delta_i’=1/r_{ii}$。则共同度的初始值为 $(h_i’)2=1-\delta_i’=1-1/r_{ii}$。
4. 迭代主因子法(iterated principal factor):主因子的解很不稳定。因此,常以估计的共同度为初始值,构造新的约化矩阵,再计算其特征根及其特征向量,并由此再估计因子负荷及其各变量的共同度和特殊方差,再由此新估计的共同度为初始值继续迭代,直到解稳定为止。
因子分析法是一种多变量分析方法,用于将多个相关变量转换为少数几个不相关的综合指数。它的应用非常广泛,包括科研、商业、金融等领域。