主成分分析法是一种统计学方法，用于处理高维度数据，以减少数据的复杂性并提取主要信息。在会计学和其他领域中，当面临多个变量时，主成分分析可以帮助我们简化问题，通过创建少数几个新的综合变量，即主成分，来替代原始的多个变量。这些主成分是原始变量的线性组合，它们彼此独立且最大化了数据的方差。
在主成分分析中，新变量z1、z2、...、zm被称为第一、第二、...、第m主成分，它们依次是所有可能线性组合中方差最大的那些。每个主成分的确定遵循两个原则：一是不同主成分间相互独立，二是每个主成分是与之前所有主成分不相关的原始变量的线性组合，且具有最大的方差。
主成分分析的实质是找出原始变量在各个主成分上的“载荷”lij，这些载荷是相关矩阵的特征值对应的特征向量。计算过程包括以下几个步骤：
1. **计算相关系数矩阵**：计算所有原始变量之间的相关系数rij，形成相关系数矩阵R。
2. **求解特征值和特征向量**：解相关矩阵R的特征方程，得到特征值λ1、λ2、...、λp，并按大小排序。然后，求出每个特征值对应的单位特征向量，这些向量就是主成分的方向。
3. **计算主成分贡献率和累计贡献率**：贡献率衡量了单个主成分解释的总方差的比例，累计贡献率则反映了前m个主成分共同解释的方差比例。通常选择累计贡献率达到85%-95%的主成分。
4. **计算主成分得分**：利用特征向量和原始数据，计算每个样本在各个主成分上的得分，这些得分构成了新的数据集Z。
例如，在一个农业生态经济系统的研究中，如果有多项指标如人口密度、人均耕地面积等，主成分分析可以帮助我们将这些复杂的指标转化为少数几个综合指标，便于分析和理解。通过实际的数据计算，我们可以找出影响系统的主要因素，从而简化决策过程。
主成分分析是一种强大的数据分析工具，尤其在面对多变量问题时，能够有效地进行数据降维，提取关键信息，并有助于发现变量间的结构关系。在实际应用中，它广泛应用于市场研究、金融风险分析、生物学研究等多个领域。
VIP享7折，此内容立减5.97元 
