1.1 构造数值求积公式的基本思
想
定积分I=∫
a
b
f (x)dx在几何上为x=a, x=b, y=0和y=f (x) 所围成的曲边梯形的面积。定积分计算之所以困难,是不规则图形的面积。由积分中值定理,对连续函数 f (x) ,在区间[a, b] 内至少存在一点
,使:
也就是说,曲边梯形的面积I 恰好等于底为b-a, 高为 f (
)的规则图形—矩形的面积( 图 7-1), f (
) 为曲边梯形的平均高度 ,然而点
的具体位置一般是不知道的, 因此难以准确地求出 f (
) 的值。但是,由此可以得到这样的启发, 只要能对平均高度 f (
) 提供一种近似算法 , 便可以相应地得到一种数值求积公式。
图 7-
1
a
b
ξ
如用两端点的函数值f (a)与 f (b) 取算术平均值作为平均高度 f (
) 的近似值, 这样可导出求积公式:
第 1 页 / 共 38 页
)()()(
fabdxxfI
b
a
)(xfy
)(
f