代数精插值求积及复化公式PPT学习教案.pptx

【代数精插值求积及复化公式】是数值分析中的重要概念，主要用于近似计算定积分。定积分在几何上表示不规则图形的面积，对于无法直接求解的复杂函数，通过构造数值求积公式来估算。基本思想是找到函数在区间上的平均高度，然后用函数在特定点的值进行近似。 1. **构造数值求积公式的基本思想**： - 定积分I可以通过积分中值定理理解，即曲边梯形的面积等于某个矩形的面积，矩形的高是函数在区间内的平均值f(ξ)。由于ξ的位置未知，我们通常用函数在区间端点的值或区间的内点值来近似f(ξ)，从而形成数值求积公式。 2. **求积公式的一般形式**： - 常见的求积公式如矩形公式、梯形公式等，它们都是通过对函数在一系列节点xk上的加权平均值来近似f(ξ)。一般的求积公式可以表示为： \[ \int_a^b f(x)dx \approx \sum_{k=0}^{n} A_k f(x_k) \] - 其中，xk是求积节点，Ak是求积系数，仅与节点选取有关，与被积函数无关。 3. **代数精度**： - 代数精度衡量求积公式的精确度，如果一个公式对所有不超过m次的多项式都能精确积分，但对于m+1次多项式不精确，那么这个公式具有m次代数精度。 - 定义1指出，一个具有m次代数精度的求积公式对1,x,x^2,...,x^m精确，对x^(m+1)不精确。 - 梯形公式和矩形公式都具有一次代数精度，意味着它们能精确积分线性函数，但对二次及以上次的多项式则会出现误差。 4. **构造高代数精度的求积公式**： - 通过选择特定的节点xk，如等距点或非等距点，并让求积公式对f(x)=1,x,...,xn精确，可以构造出具有更高代数精度的公式，例如辛普森法则、高斯积分公式等。 5. **截断误差和积分余项**： - 求积公式中的误差主要来源于截断误差Rn，它被称为积分余项，表示公式近似的不准确性。 6. **应用与优化**： - 高代数精度的求积公式通常能提供更准确的积分结果，但计算复杂度也会增加。 - 通过调整求积节点和系数，可以设计出适用于不同情况的数值积分算法，方便计算机实现。 代数精插值求积及复化公式是数值积分的核心，通过巧妙选择求积节点和系数，我们可以构建一系列用于近似计算定积分的公式，这些公式具有不同程度的代数精度，满足不同计算需求。在实际应用中，选择适当的求积方法对提高计算效率和精度至关重要。