《插值与逼近》是数值分析中的一个重要主题，主要研究如何用一个低次数的多项式来逼近一个给定函数，以便在计算和分析中简化处理。在这个PPT教案中，重点介绍了Lagrange插值法。
Lagrange插值法是一种基于节点值的插值方法，它利用n+1个互异节点上的函数值来构造一个n次多项式，这个多项式在每个节点上都能精确匹配给定的函数值。定理6.1表明，对于n+1个不同的节点x0, x1, ..., xn上的y0, y1, ..., yn，存在且仅存在一个n次插值多项式pn(x)，使得pn(xi) = yi对所有i成立。
Lagrange插值多项式由n+1个称为Lagrange基函数的n次多项式组成，记为li(x)。这些基函数的特性是li(xj) = δij，其中δij是Kronecker delta函数，当i=j时为1，否则为0。这意味着li(x)在除了节点xi外的所有其他节点上都为0，而在xi处等于1。因此，任何满足插值条件的函数f(x)可以表示为：
L(x) = l0(x)y0 + l1(x)y1 + ... + ln(x)yn
其中，lk(x)是关于节点xk的n次Lagrange插值基函数。通过设置lk(x) = c * (x - x0)*(x - x1)*...*(x - xk - 1)*(x - xk + 1)*...*(x - xn)，然后利用lk(xk) = 1来确定常数c，我们可以得到具体形式的lk(x)。
Lagrange插值的余项Rn(x)用来衡量插值多项式Ln(x)与原函数f(x)之间的误差，即Rn(x) = f(x) - Ln(x)。定理6.2指出，如果f(n)(x)在[a, b]上连续，f(n+1)(x)在(a, b)内存在，那么插值余项可以表示为：
Rn(x) = C(x) * ωn+1(x)
其中，C(x)是与x有关的常数，ωn+1(x)是(x - x0)*(x - x1)*...*(x - xn)/(n+1)!的导数n+1次。这表明余项与插值多项式相比具有较高的阶，因此在远离节点的区域，插值误差可能会增加。
Lagrange插值法的优点在于其简单性和易于实现，只需要指定节点就可以直接构建基函数和插值多项式。然而，随着节点数量的增加，Lagrange插值多项式的系数可能会变得非常大，导致数值稳定性问题。因此，在实际应用中，可能需要考虑其他插值方法，如 Hermite 插值或 Neville插值，以提高数值稳定性和减少计算复杂性。
在示例中，分别展示了关于两个节点的线性Lagrange插值和关于三个节点的二次Lagrange插值的求解过程，展示了如何构建基函数并计算插值多项式。
《插值与逼近》是数学和工程领域的重要工具，用于近似复杂函数，简化计算，尤其是在有限数据点下进行数值分析和模拟时。Lagrange插值法因其直观性和便捷性而被广泛应用，但也需要注意其可能的数值稳定性问题。
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