上海市现代应用数学重点实验室研究报告
Research Report Series of SKLCAM
(2020 年第一期)
基于时滞动力学系统新冠肺炎传播模型的
若干预测分析
上海市现代应用数学重点实验室
Shanghai Key Laboratory of Contemporary Applied Mathematics
基于时滞动力学系统新冠肺炎传播模型的若干预
测分析
江渝
1
, 刘可伋
1
, 陈瑜
1
, 严阅
1
, 许伯熹
1
, 陈文斌
2
, 陆帅
2
, 徐翔
3
, 程晋
2∗
1
: 上海财经大学数学学院, 上海市, 200433.
2
: 复旦数学科学学院, 上海市现代应用数学重点实验室, 上海市, 200433.
3
: 浙江大学数学科学学院, 浙江省杭州市, 310027.
2019 年 12 月, 新型冠状病毒肺炎 (Novel Coronavirus Pneumonia, 简称: 新冠肺炎,
NCP, 有称 2019-nCoV) 疫情从武汉开始爆发, 几天内迅速传播到全国乃至海外. 科学
有效掌控疫情发展对疫情防控至关重要. 团队基于全国各级卫健委每日公布的累计确诊
数和治愈数, 提出了一类时滞动力学系统的新冠肺炎传播模型 (A Time Delay Dynamic
model for NCP, 简称 TDD-NCP 模型). 在模型中引入时滞过程, 用来描述病毒潜伏期与
治疗周期. 通过公布的疫情数据, 能够准确反演模型的参数, 进一步能有效地模拟疫情的
发展, 预测疫情未来的趋势 [3, 4, 5]. 随着新冠疫情的发展, 数据不断更新, 不少新信息的
披露也显示新冠病毒具有一些新的特性, 通过更新数据和对模型的相应修正. 我们可以
对若干疫情相关问题作出一些新的分析.
1 TDD-NCP 模型
在这一节中, 我们介绍下 [4] 中介绍的 TDD-NCP 模型. 研究对象是感染者, 确诊者,
隔离者, 康复者和死亡者, 我们使用如下记号来代表每个人群的人数:
• I(t): t 时刻感染者的累计总数;
• J(t): t 时刻确诊者的累计总数;
• G
(
t
)
:
t
时刻已感染
,
仍处于潜伏期
,
但已隔离的人群的
实时
总数
;
• R(t): t 时刻康复者的累计总数;
• D(t): t 时刻因病死亡者的累计总数.
考虑到潜伏期的影响, 我们假设:
∗
通讯作者, Email: jcheng@fudan.edu.cn.
1
1. 感染者在出现明显症状前会经历 τ
1
天的潜伏期, 一旦出现症状, 感染者将寻求治
疗, 从而转为确诊病例;
2. 由于政府干预控制措施, 某些感染者在潜伏期内尚未出现症状已被隔离, 在被隔
离了平均 τ
′
1
天后出现症状成为确诊病例.
基于上述假设, 无论确诊者就医前是否被隔离, 在 t 时刻的确诊者累计总数 J(t) 均由
t − τ
1
时刻的感染者构成. 此外, 我们进一步假设确诊者都在 τ
2
天后结束治疗, 他们中有
κ 的比例被治愈, 1 − κ 的比例病重不治.
以上发病至结束治疗的过程可总结为图1.
∆I
∆G
∆J
∆R
(κ)
∆D
(1−κ)
τ
1
时滞
τ
1
− τ
′
1
τ
′
1
τ
2
时滞
τ
1
+ τ
2
时滞
图 1: 模型示意图.
同时我们得到了如下时滞动力学模型:
dI
dt
= β
(
I(t) − J(t) − G(t)
)
,
dJ
dt
= γ
∫
t
0
h
1
(t − τ
1
, t
′
)β
(
I(t
′
) − J(t
′
) − G(t
′
)
)
dt
′
,
dG
dt
= ℓ
(
I(t) − J(t) − G(t)
)
−
∫
t
0
h
2
(t − τ
′
1
, t
′
)ℓ
(
I(t
′
) − J(t
′
) − G(t
′
)
)
dt
′
,
dR
dt
= κ
∫
t
0
h
3
(t − τ
1
− τ
2
, t
′
)β
(
I(t
′
) − J(t
′
) − G(t
′
)
)
dt
′
.
(1)
模型解释:
1. β 被定义为传染率, 它代表每个感染者在单位时间内的平均传染人数. 在就医和
隔离期间, 我们认为确诊者与隔离者均无传染性. 因此, 在时刻 t 能引起进一步传染的人
数是 I(t) − G(t) − J(t).
2. 系数 γ 是致病率参数. 累计确诊人数 J(t) 均来自于潜伏期 τ
1
天内的感染人数.
3. 隔离者人数 G(t) 的变化由以下两个因素决定:
(a) 具有传染性的人群因政府防控措施而被隔离, 其中隔离率为 ℓ.
(b) 隔离者在隔离了 τ
′
1
天后被确诊入院. 时滞项表示隔离的人群受到的历史数据影
响.
2
4. 一旦被感染, 需经历 τ
1
天的潜伏期与 τ
2
天的治疗期才能结束治疗.
这里需要指出的是, 在政府每日发布的疫情数据中, 可以获得累计确诊人数 J(t) 和累计
治愈人数 R(t) 的信息, 而 I(t) 和 G(t) 通常无法获得. 因此实际计算时, 我们采用 J(t)
与 R(t) 进行模型参数的反演.
在以上模型中, h
i
(
ˆ
t, t
′
)(i = 1, 2, 3) 是延迟天数的概率分布, 满足归一化条件:
∫
t
0
h
i
(
ˆ
t, t
′
)dt
′
= 1,
ˆ
t ∈ (0, t), i = 1, 2, 3.
一般地, 我们假设 h
1
(
ˆ
t, t
′
) 是一个正态分布 h
1
(
ˆ
t, t
′
) = c
1
e
−c
2
(
ˆ
t−t
′
)
2
, 其中 c
1
与 c
2
是常数.
也可取 h
1
是一个 δ-函数, 即 h
1
(
ˆ
t, t
′
) := δ(
ˆ
t − t
′
), 这意味着每个感染者都经历了相同的潜
伏期和治疗期的延迟天数分布. 同理, h
2
(
ˆ
t, t
′
) 与 h
3
(
ˆ
t, t
′
) 可取为 h
2
(
ˆ
t, t
′
) = c
3
e
−c
4
(
ˆ
t−t
′
)
2
,
h
3
(
ˆ
t, t
′
) = c
5
e
−c
6
(
ˆ
t−t
′
)
2
, 其中 c
3
至 c
6
都为常数.
2 全国及主要省市疫情的反演和预测
1 月 23 日开始截止到现在, 各地还都采取着严格的防控措施, 各地人员流动相对少.
基于 1 月 23 日至 2 月 7 日 24 时全国和各地卫健委公开的数据, 利用 TDD-NCP 模
型(1)和 [4] 中的参数反演和疫情预测算法可以反演得到模型中传染率 β 和隔离率 ℓ, 见
表1.
地区 传染率 β 隔离率 ℓ
全国 (除港澳台) 0.2921 0.3424
武汉市 0.4103 0.3977
湖北省 0.4004 0.4510
北京市 0.2104 0.5372
上海市 0.2021 0.4547
江苏省 0.2733 0.5305
浙江省 0.1992 0.5325
安徽省 0.3014 0.4952
广东省 0.2698 0.5400
河南省 0.2615 0.5478
表 1: 反演得到的传染率和隔离率.
基于这些数据, 可以作出如下分析:
1. 传染率 β. 由于 1 月 23 日至今, 全国隔离已经实施了很严格的防控措施. 因此传
染率已经得到有效控制, 处于一个较低水平. 但是局部地区如武汉市, 湖北省还处于较高
3
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