算法设计与分析基础习题及参考答案

习题 1.1

5..证明等式 gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数 m,n 都成立.

Hint:

根据除法的定义不难证明:

 如果 d 整除 u 和 v, 那么 d 一定能整除 u±v;

 如果 d 整除 u,那么 d 也能够整除 u 的任何整数倍 ku.

对于任意一对正整数 m,n,若 d 能整除 m 和 n,那么 d 一定能整除 n 和 r=m

mod n=m-qn；显然，若 d 能整除 n 和 r，也一定能整除 m=r+qn 和 n。

gcd(m,n)=gcd(n,m)

并且这种交换处理只发生一次.

7.a.对于所有 1≤m,n≤10 的输入, Euclid 算法最少要做几次除法?(1 次)

b. 对于所有 1≤m,n≤10 的输入, Euclid 算法最多要做几次除法?(5 次)

gcd(5,8)

习题 1.2

1.(农夫过河)

P—农夫 W—狼 G—山羊 C—白菜

2.(过桥问题)

1,2,5,10---分别代表 4 个人, f—手电筒

If a≠0

D←b*b-4*a*c

If D>0

temp←2*a

x1←(-b+sqrt(D))/temp

x2←(-b-sqrt(D))/temp

return x1,x2

else if D=0 return –b/(2*a)

else return “no real roots”

a.用文字描述

b.用伪代码描述

解答：

a.将十进制整数转换为二进制整数的算法

输入：一个正整数 n

输出：正整数 n 相应的二进制数

第一步：用 n 除以 2，余数赋给 Ki(i=0,1,2...)，商赋给 n

第二步：如果 n=0，则到第三步，否则重复第一步

第三步：将 Ki 按照 i 从高到低的顺序输出

b.伪代码

Bin[i]=n%2;

n=(int)n/2;

i++;

}

while i!=0 do{

print Bin[i];

i--;

}

//输入:数组 A[0..n-1]

//输出:the smallest distance d between two of its elements

c.该算法不在位.额外空间 for S and Count[]

4.(古老的七桥问题)

1.请分别描述一下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度.

a.删除数组的第 i 个元素(1<=i<=n)

b.删除有序数组的第 i 个元素(依然有序)

hints:

a. Replace the ith element with the last element and decrease the array size of 1

b. Replace the ith element with a special symbol that cannot be a value of the array’s

element(e.g., 0 for an array of positive numbers ) to mark the ith position is empty.

(“lazy deletion”)

b.α>0 时,Θ(αg(n))= Θ(g(n))

解:

a. 这个断言是正确的。它指出如果 t(n)的增长率小于或等于 g(n)的增长率，那么 g(n)

的增长率大于或等于 t(n)的增长率

由 t(n)≤c·g(n) for all n≥n0, where c>0

则： for all n≥n0

设 f(n)∈Θ(αg(n)),则有：

即：f(n)∈Θ(αg(n))

8．证明本节定理对于下列符号也成立：

b.Θ 符号

证明：

a 。 we need to proof that if t

(n)), then t

(n)+

t

2

(n)∈Ω(max{g

(n), g

(n)})。

由 t

1

(n)∈Ω(g

t

(n) for all n>=n1, where c1>0

2

2

2

1

2

≥cmax{ g

(n), g

(n)}

所以以命题成立。

b. t

证明：由大Ⓗ的定义知，必须确定常数 c1、c2 和 n0，使得对于所有 n>=n0，有：

b1*g2(n)<=t

(n)<=b2*g2(n)-----(2)

a1*g1(n)+ b1*g2(n)<=t1(n)+t2(n) <= a2*g1(n)+ b2*g2(n)

C1*(g1+g2)<= t

(n)+t

(n) <=c2(g1+g2)-----(3)

又 g2(n)>0，g1(n)+g2(n)>g1(n),即 g1+g2>max(g1,g2)。

C1*max(g1,g2) <= t

(n)+t

(n) <=c2*2max(g1,g2)

n>=n0 时上述不等式成立。

习题 2.4