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算法设计与分析基础习题参考答案 本资源共包含 9 道习题，涵盖了算法设计与分析的基础知识，包括欧几里得算法、平方根算法、二进制转换算法、最小差值算法、排序算法等。以下是对每道习题的详细解释： 1.1 证明等式 gcd(m,n)=gcd(n,m mod n) 对每一对正整数 m,n 都成立。 这道题考察了欧几里得算法的基础知识，要求证明欧几里得算法的正确性。 Hint 提供了证明的思路：如果 d 整除 u 和 v，那么 d 一定能整除 u±v；如果 d 整除 u，那么 d 也能够整除 u 的任何整数倍 ku。 1.2 欧几里得算法将如何处理一对数字的输入？该算法在处理这种输入的过程中，上述情况最多会发生几次？ 这道题考察了欧几里得算法的实现细节，要求分析算法在处理特殊输入的情况下会发生的次数。 Hint 提供了证明的思路：对于任何形如 0<=m<n 的一对数字，Euclid 算法在第一次叠代时交换 m 和 n，即 gcd(m,n)=gcd(n,m) 并且这种交换处理只发生一次。 1.3 农夫过河问题：P—农夫、W—狼、G—山羊、C—白菜。 这道题考察了算法设计的基础知识，要求分析农夫过河问题的解决方案。 2. 对于所有 1≤m,n≤10 的输入，Euclid 算法最少要做几次除法？b. 对于所有 1≤m,n≤10 的输入，Euclid 算法最多要做几次除法？ 这道题考察了欧几里得算法的时间复杂度，要求分析算法在不同输入情况下的时间复杂度。 3. 写出求方程 ax^2+bx+c=0 的实根的算法。 这道题考察了算法设计的基础知识，要求设计一个算法来求解二次方程的实根。伪代码提供了算法的实现思路。 4. 描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法。 这道题考察了算法设计的基础知识，要求描述一个将十进制整数转换为二进制整数的算法。伪代码提供了算法的实现思路。 5. 考虑下面这个算法，它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差。对这个算法做尽可能多的改进。 这道题考察了算法设计的基础知识，要求分析和改进一个算法以求得数组中大小相差最小的两个元素的差。 6. 考虑这样一个排序算法，该算法对于待排序的数组中的每一个元素，计算比它小的元素个数，然后利用这个信息，将各个元素放到有序数组的相应位置上去。 这道题考察了算法设计的基础知识，要求分析和实现一个排序算法。伪代码提供了算法的实现思路。 7. 古老的七桥问题。 这道题考察了算法设计的基础知识，要求分析和解决古老的七桥问题。 这些习题涵盖了算法设计与分析的基础知识，包括欧几里得算法、平方根算法、二进制转换算法、最小差值算法、排序算法等。通过解决这些习题，可以帮助学习者更好地理解算法设计与分析的基础知识。