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数学建模-数模讲义之线性规划模型.doc

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数学建模-数模讲义之线性规划模型

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数模讲义之线性规划模型

目标函数与约束条件都是线性函数的优化问题叫做线性规划（ Linear

Programming）。例如，下面就是一个线性规划问题：

其中“s. t.”表示“subject to” ，意思是“受约束于” 。

线性规划问题可以用 LINDO 软件包求解（见后面第 6 章）。本章介绍如何用

Mathematica 软件包求解。

§1 线性规划问题的求解

线性规划问题在 Mathematica 软件包求解有两种方法：

（I）直接输入表达式求解，命令格式如下：

目标函数求最小时，使用下列命令

ConstrainedMin[目标函数，{ 限制条件 }，{ 变量表 } ]

目标函数求最大时，使用下列命令

ConstrainedMax[目标函数，{ 限制条件 }，{ 变量表 } ]

注意：在输入限制条件时，（1）等号要写两次；（2）所有变量都要转化为非负的

形式，Mathematica 软件系统自动在第一象限求解，所以 x11 ≥ 0 之类的约束条件

可以不输入。

例如，求解下列问题

第一步，通过变量替换，将所有变量化为非负的形式。

令 x1 = y11-y12，x2 = y21 – y22，x3 = y31 –y32，x4 = y41 – y42，x5 = y51 – y52，

其中所有变量 yij≥0，代入原问题。

第二步，在 Mathematica 软件包中编写程序如下：

ConstrainedMin[ 7( y21 – y22 ) – 5（y31 – y32） – 53（y41 – y42） – 6（y51 –

y52）,

{ -（ y11 - y12 ） + 6( y21 – y22 ) – 4（y41 – y42）– 3（y51 – y52） ≥ 6,

y31 –y32 + 2（y41 – y42）– 5（y51 – y52） ≤ 10,

4（y11 - y12） – 5（y31 –y32） + 2 ( y61 – y62 ) == 7,

y11 - y12 ≥ 2,

y11 - y12 ≤ 10,

y21 – y22 ≥ 7,

y31 –y32 ≤ 5 },

{ y11, y12, y21, y22, y31, y32, y41, y42, y51, y52, y61, y62 } ]

程序运行之后，得到结果

- ¥,

y11 ®Indeterminate, y12 ® Indeterminate, y21 ® Indeterminate, y22 ® Indeterminate,

y31 ® Indeterminate, y32 ® Indeterminate, y41 ® Indeterminate, y42 ®Indeterminate,

y51 ® Indeterminate, y52 ® Indeterminate, y61 ® Indeterminate, y62 ®Indeterminate

说明此题无最优解。

（II）将线性规划问题转化为矩阵形式求解，命令格式如下：

Mathematica 系统提供的求解矩阵形式的线性规划问题的命令是：

LinearProgramming[ c, A, b ]

它要求必须首先将线性规划问题转化为以下“大于等于求最小”的形式：

例如，有线性规划问题：

max f = 3x1 + 2x2

s. t.

2x1 – x2 ≥ -2

x1 +2 x2 ≤ 8

x1 + x2 = 5

x1, x2 ≥ 0

首先将其转化为符合程序要求的标准形式：

第一步转化如下：

min ( -f ) = -3x1 –2x2

s. t.

2x1 – x2 ≥ -2

-x1 – 2x2 ≥ -8

x1 + x2 ≥ 5

-x1 – x2 ≥ -5

x1, x2 ≥ 0

第二步转化为矩阵形式：

于是，得到目标函数的系数向量为 c = （-3, -2 ）

约束条件的系数矩阵为

约束条件的常数向量为：

最后在 Mathematica 中输入以下程序：

c = { -3, -2};

A = { { 2, -1 }, { -1, -2 }, { 1, 1 }, { -1, -1 } };

b = { -2, -8, 5, -5 };

x = LinearProgramming[ c, A, b ];

Print[ “ x = ”, x ]

f = - c.x;

Print[ “ f

max

= ”, f ]

其中“c.x”表示向量的内积。程序运行之后，得到以下结果：

x = { 5, 0 }

max

= 15

（III）用矩阵形式求解线性规划问题及其对偶问题的解

设有线性规划问题：

及其对偶问题：

第一步将其对偶问题转化为程序要求的标准形式：

第二步编程序求解。注意，在 Mathematica 系统中，向量与它的转置

（Transpose）是等价的，但矩阵与它的转置不等价。求解程序以及格式如下：

c = { … };

A = { … };

b = { … };

x = LinearProgramming[ c, A, b ];

Print[ “ x = ”, x ]

f = c.x;

Print[ “ f

min

= ”, f ]

B = Transpose[ A ];

y = LinearProgramming[ -b, -B, -c ];

Print[ “ y = ”, y ]

F = b.y;

Print[ “ F

max

= ”, F ]

§2 线性规划问题应用示例

例 1 有两个农场 A 和 B，上级规定它们每月分别向三个大学食堂送米 65 吨、110

吨，这三个大学食堂每月需米分别为 50 吨、80 吨、45 吨。A 农场离大学分别为

15Km、10Km、11Km，B 农场离大学分别为 14Km、18Km、25Km。问如何分配

这两个农场供米，使总运输量（吨公里）最小？

大学 1：D1 大学 2：D2 大学 3：D3 农场生产量

农场 A

15Km 10Km 11Km

65 吨

农场 B

14Km 18Km 25Km

110 吨

大学需要量 50 吨 80 吨 45 吨合计：175 吨

解：（一）求最优调度方案

设 A 农场为 D1、D2、D3 分别送米 x1、x2、x3 吨；B 农场为 D1、D2、D3 分别送

米 x4、x5、x6 吨；得到模型如下：

min f = 15x1+10x2+11x3+14x4+18x5+25x6

用 Mathematica 软件包求解：

（1）表达式输入法（ConstrainedMin 命令和 ConstrainedMax 命令的应用）

ConstrainedMin[15x1+10x2+11x3+14x4+18x5+25x6,

{ x1+x2+x3 <= 65, x4+x5+x6 <= 110, x1+x4 >= 50, x2+x5 >= 80,

x3+x6 >= 45 }, { x1,x2,x3,x4,x5,x6 } ]

注意：ConstrainedMin 命令和 ConstrainedMax 命令默认全体变量≥0。

（2）矩阵输入法（LinearProgramming 命令的应用）

所求最优解为（x1, x2, x3, x4, x5, x6）=（0，20，45，50，60，0）, f

min

= 2475 吨

公里。

（二）讨论上级分配方案是否合理

ConstrainedMin[15x1+10x2+11x3+14x4+18x5+25x6,

{ x1+x2+x3 <= a, x4+x5+x6 <= b, a+b == 175, x1+x4 >= 50,

x2+x5 >= 80, x3+x6 >= 45 }, { x1, x2, x3, x4, x5, x6, a, b } ]

此时的最优解为：

（x1, x2, x3, x4, x5, x6）=（0，80，45，50，0，0）, f

min

= 1995 吨公里。a =

125，b = 50。

可见，以最小吨公里为衡量标准，上级原来的规定并不是资源的最优配置，应该改

进为：A 农场送米 125 吨，B 农场送米 50 吨。

例 2 原料产地 A1、A2、A3 将原料制成产品运往销地 A1、A2、A3。4 吨原料制 1

吨产品。产地 A1 年产原料 30 万吨、同时需要产品 7 万吨；产地 A2 年产原料 26 万

吨、同时需要产品 13 万吨；A3 年产原料 24 万吨、不需要产品。A1 与 A2 距离 150

公里、A1 与 A3 距离 100 公里； A2 与 A3 距离 200 公里。又知原料运费为 0。3 万

元/万吨公里、产品运费为 0。25 万元/万吨公里。且知在 A1 建厂加工费为 0。55 万

元/万吨、在 A2 建厂加工费为 0。4 万元/万吨、在 A3 建厂加工费为 0。3 万元/万吨。

因条件限制，在 A2 建厂规模不能超过年产成品 5 万吨。问：如何安排建厂，使总

成本（原料运费、产品运费、加工费等）最少？

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