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微分方程-有杆抽油系统的数学建模及诊断 (2).pdf
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微分方程-有杆抽油系统的数学建模及诊断 (2).pdf
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1
参赛密码
(由组委会填写)
第九届“华为杯”全国研究生数学建模竞赛
题 目 有杆抽油系统的数学建模及诊断
摘 要:
本文以有杆抽油系统为对象,分别对光杆悬点运动规律,泵功图 Gibbs 模型
计算,泵功图实际应用和 Gibbs 模型修正进行了详细地推导,研究和实现,并相
应地得出了一些明确的重要结论和结果。
问题一:根据有杆抽油机四连杆机构的结构关系和运动方程特点,用图解法
分析建立后臂摆动方程,由该方程得出了前、后臂摆角的变化规律及悬点运动的
位移、速度、加速度的计算模型,从而给出了求悬点运动参数精确解的一种计算
方法。分析得出,悬点的上、下死点位置不是常规认为的 180°和 360°曲柄转
角,通过计算模型的初始旋转角,确定系统结构的系数范围优化所建立的模型。
通过计算悬点运动参数,并将仿真数据与实际数据对比,分析出在运动过程中悬
点速度和加速度方向和大小都在变化,并且空载时悬点位移的要高于有负载时悬
点位移。
问题二:结合参考文献建立了泵功图的 Gibbs 模型,详细推导和讨论了悬点
示功图转化为泵功图的过程,明确的给出了原始数据的处理方法,边界条件和初始
条件的定义和物理意义,并用 Matlab 编程语言对模型进行了实现,绘制了完整的
程序设计流程图。最后利用题目附件提供的油井参数和悬点示功数据,分别计算
和绘制出两口油井的悬点示功图和泵功图,并对结果分别在数学和物理层面上进
行了分析,得到两个主要结论:数学上由于傅里叶级数的有限截断会对高频分量
进行滤波,泵功图曲线相对于悬点示功图会更为光滑,物理上由于抽油杆受摩擦
阻力的影响,泵功图相对于悬点示功图会整体向左下方产生一定距离的平移。
问题三:对于第一小问,结合问题二获得的泵功图,建立了两个不同的模型。
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模型一是通过泵功图计算出有效冲程,利用有效冲程和题目附件数据估算出两口
油井的日产油量,其中有效冲程的确定是通过分析固定阀和游动阀在一个冲程周
期内的打开和关闭情况来确定。模型二是通过能量守恒原理,根据计算采油机械
的做功与抽汲过程克服摩擦力做功和对混合液体做功总和相等构建模型,同样利
用编程实现计算出两个不同油井的日产量。对于第二小问,通过对标准泵功图和
实际泵功图在图形面积和图形曲率的情况,建立了判别泵功图是否充气的模型,
利用该模型判断了不同阀值下两口井是否充气的可能性,一级杆油井有气体的可
能性比较小,而三级杆油井有气体的可能性比较大。
问题四:针对阻尼系数的计算问题,论文从方程本身和原始数据出发,结合
题目附件 1,2 的泵深等数据,利用摩擦功的计算来确定阻尼系数。在实现过程中,
对阻尼系数 c 的计算进行了详细的理论推导,获得了最终的计算表达式。此外,
利用本模型对问题二重新计算,计算结果的比较表明,基于本模型的计算结果相
对原始模型,能更好的保持原始数据的荷载差,更贴合实际物理意义,更能完整
的反应实际情况。
关键字:有杆抽油,图解法,有效冲程,Gibbs,示功图,泵功图,能量守恒,
摩擦功,阻尼系数
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3
目录
一、 问题重述 ..................................................................................................... 3
二、 问题假设 ..................................................................................................... 4
三、 符号说明 ..................................................................................................... 5
四、 问题一:光杆悬点运动规律 ...................................................................... 5
4.1 问题分析 ................................................................................................. 5
4.2 模型建立及推导 ...................................................................................... 6
4.2.1 悬点运动参数方程 .......................................................................... 6
4.2.2 悬点运动速度 .................................................................................. 7
4.2.3 悬点运动加速度 .............................................................................. 8
4.2.4 模型初始条件 .................................................................................. 8
4.2.5 阈值范围及初始条件 ...................................................................... 8
4.2.6 模型验证及误差分析 .................................................................... 10
4.3 结论........................................................................................................... 12
五、 问题二:泵功图计算 ................................................................................ 12
5.1 Gibbs 模型的基本思想 ............................................................................. 12
5.2 Gibbs 波动方程的推导 ............................................................................. 12
5.3 Gibbs 波动方程的求解 ............................................................................. 14
5.3.1 一级杆 Gibbs 波动方程的求解 ..................................................... 14
5.3.2 多级杆 Gibbs 波动方程的求解 ...................................................... 16
5.4 模型详细实现过程................................................................................... 17
5.4.1 原始数据的处理 ............................................................................. 17
5.4.2 边界条件 ....................................................................................... 18
5.4.3 初始条件 ....................................................................................... 18
5.4.4 核心计算步骤 ................................................................................ 18
5.4.5 程序设计流程图 ............................................................................ 20
5.5 模型的验证 ............................................................................................... 21
5.6 一级杆油井的模型验证 ........................................................................... 21
5.7 三级杆油井的模型验证 ........................................................................... 22
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4
5.8 小结........................................................................................................... 22
六、 问题三:泵功图的应用 ............................................................................ 23
6.1 背景分析与假设 ...................................................................................... 23
6.2 问题一有效冲程法模型 ............................................................................ 23
6.2.1 模型的建立与推导 ........................................................................ 23
6.2.2 模型的验证 ................................................................................... 27
6.2.3 产量计算 ....................................................................................... 31
6.3 问题一有效功率求解法模型 ................................................................... 32
6.3.1 模型的建立与推导 ........................................................................ 32
6.3.2 模型的验证 ................................................................................... 36
6.3.3 产量计算 ....................................................................................... 36
6.4 问题二模型 ............................................................................................... 36
6.4.1 模型的推导 .................................................................................... 36
6.4.2 模型的建立 .................................................................................... 37
6.4.5 模型使用 ........................................................................................ 37
七、 问题四:Gibbs 模型深入研究 .................................................................. 40
7.1 问题二 ...................................................................................................... 40
7.1.1 基于摩擦功的阻尼系数模型建立 ................................................. 40
7.1.2 模型求解 ....................................................................................... 43
八、 模型评价 ................................................................................................... 44
九、 参考文献 ................................................................................................... 45
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3
问题重述 一、
目前,开采原油广泛使用的是有杆抽油系统。电机旋转运动转化为抽油杆上
下往返周期运动,带动设置在杆下端的泵的两个阀的相继开闭,从而将地下上千
米深处蕴藏的原油抽到地面上来。
在一个冲程期间,仪器以一系列固定的时间间隔测得悬点处的一系列位移数
据和荷载数据,据此建立悬点的示功图称为悬点示功图。因为受到诸多因素的影
响,在同一时刻,悬点处的荷载与柱塞的受力以及悬点、柱塞处的相对位移都不
相同,因此悬点示功图与泵功图是不同的。工程上一般根据示功图形状与理论示
功图进行对比来判断抽油机工作状态。通过悬点示功图可以初步诊断该井的工作
状况,如产量、气体影响、等。要精确诊断油井的工作状况,需要采用泵功图。
通过数学建模,把悬点示功图转化为杆上任意点的示功图,并最终确定泵功图。
问题一:光杆悬点运动规律
电机旋转运动通过四连杆机构转变为抽油杆的垂直运动。悬点下只挂光杆。
根据已给的四连杆各段尺寸,利用附件参数,求出悬点的一个冲程的运动规律:
位移函数、速度函数、加速度函数。并与有荷载的附件悬点位移数据进行比较。
问题二:泵功图计算
使用 Gibbs 模型,给出由悬点示功图转化为泵功图的详细计算过程,包括:
原始数据的处理、边界条件、初始条件、求解算法;根据附件 1、3 油井参数和
悬点示功数据,分别计算这两口油井的泵功图数据,并绘制出两油井的悬点示功
图和泵功图。
问题三:泵功图的应用
1)建立 2 个不同的由泵功图估计油井产量的模型,至少一个要利用“有效
冲程”;并利用附件数据估算两口油井一天(24 小时)的产液量。
2)当泵中有气体,导致泵没充满。建立模型或算法,自动判别某泵功图数
据是否属于泵内有气体的情况。并对附件对应的泵功图进行计算机诊断是否属于
泵内充气这种情况。
问题四:深入研究
1)对 Gibbs 模型进行原理分析,发现它的不足。在合理的假设下,重新建立抽
油系统模型或对现有模型进行改进;并给出由悬点示功图转化为泵功图的详细计
算过程,包括:原始数据的处理、边界条件、初始条件、求解算法;利用附件数
据重新进行计算;对计算结果与问题二的计算结果进行比较,分析模型的优缺点。
2)Gibbs 模型在数学上可简化为 “波动方程”:
22
2
22
u u u
ac
t x t
,其中 a 为
已知常数,c 称为阻尼系数,鉴于大多数的阻尼系数公式是作了诸多假设后推出
的,并不能完整地反应实际情况。从方程本身和某些数据出发用数学方法估计参
数 c,详细给出计算 c 的理论推导过程并尽可能求出 c。
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