(完整版)扩散问题的偏微分方程模型,数学建模.pdf
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2022-11-26
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第七节 扩散问题的偏微分方程模型
物质的扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯
爆炸、农田墒情、水利工程、生态问题、房屋基建、神经传导、药物在人体内分布以及超导、
液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域，十分普遍地存在着. 显然，对这些问题的研究
是十分必要的，其中的数学含量极大. 事实上，凡与反应扩散有关的现象，大都能由线性或
非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以解决.
ＭＣＭ的试题来自实际，是“真问题
数学建模
计算机处理”的“三合一”准科研
性质的一种竞赛，对上述这种有普遍意义和数学含量高，必须用计算机处理才能得到数值解
的扩散问题，当然成为试题的重要来源，例如，ＡＭＣＭ-90Ａ，就是这类试题；ＡＭＣＭ
-90Ａ要研究治疗帕金森症的多巴胺（dopamine）在人脑中的分布，此药液注射后在脑子里
经历的是扩散衰减过程，可以由线性抛物型方程这一数学模型来刻划 . ＡＭＣＭ-90Ａ要研
究单层住宅混凝土地板中的温度变化，也属扩散（热传导）问题，其数学模型与ＡＭＣＭ-90
Ａ一样，也是线性抛物型方程.
本文交代扩散问题建模的思路以及如何推导出相应的抛物型方程，如何利用积分变换求
解、如何确定方程与解的表达式中的参数等关键数学过程，且以ＡＭＣＭ-90Ａ题为例，显
示一个较细致的分析、建模、求解过程.
§1 抛物型方程的导出
设
u(x, y, z,t)
是
t
时刻点
(x, y, z)
处一种物质的浓度. 任取一个闭曲面
S
，它所围的区
域是
，由于扩散，从
t
到
t t
时刻这段时间内，通过
S
流入
的质量为
M
1
由高斯公式得
2
t t
t
2
(a
S
u u u
cos
b
2
cos
c
2
cos
)dSdt
.
x y z
M
1
2 2
tt
t
2 2
2
u
2
u
2
u
(a b c )dxdydzdt
2 2 2
. （1）
x y z
2
其中，
a ,b , c
分别是沿
x, y, z
方向的扩散系数.
由于衰减（例如吸收、代谢等），
内的质量减少为
M
2
2
tt
t
2
k
（2）
udxdydzdt
，
其中
k
是衰减系数.
由物质不灭定律，在
内由于扩散与衰减的合作用，积存于
内的质量为
M
1
M
2
.
换一种角度看，
内由于深度之变化引起的质量增加为
M
3
[u(x, y, z,t t) u(x, y, z,t)]dxdydz
t t
t
u
dxdydzdt. (3)
t
显然
M
3
M
1
M
2
，即
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