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微分方程-与封堵溃口有关的重物落水后运动过程的数学建模.pdf
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微分方程-与封堵溃口有关的重物落水后运动过程的数学建模.pdf
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全
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国
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第
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届
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研
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究
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生
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数
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学
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建
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模
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竞
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赛
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题 目
与封堵溃口有关的重物落水后运动过程的数学建模
摘 要
我国经常发生洪水,溃坝溃堤引发的泥石流灾害对国家和人民生命财产造成了严重损失。因此,研究与封堵溃
口有关的重物落水问题具有很高的实际应用价值。
本文根据固体力学,流体力学及岩土力学相关理论,分析了影响重物落水运动过程的主要因素,根据各因素权
重关系及相关物理理论建立了多因素融合的大实心方砖落水过程模型,在此基础上,提出了适用于描述不同情况的
单一物体运动模型,定性描述了两连接物体落水后耦合运动过程,并与实测数据进行拟合,根据对比的结果,实现
了误差分析,从误差原因出发优化了模型以提高其准确度和适用性,最后,依据相似准则将优化后的模型加以推广,
实现了理论-实验-工程三者的互相验证,同时对未来需要进行的试验和研究工作提出了一些建议。
对问题 1,利用了附录 1 中各试件的实验结果,并运用控制变量法,每次只改变一个因素,在 Origin 中作实验
数据对比图,定性分析了各因素对重物运动过程的影响,并得到 6 个主要影响因素;然后依此及重物落水过程的受
力情况,分阶段建立了大实心方砖入水过程及完全入水后的运动模型,采用量纲分析及经验法两种方式考虑阻力,
得到一主模型和一辅模型。结果表明,大实心方砖主模型,总体效果较好,当其在特殊工况拟合度较差时采用辅模
型进行辅助分析。
对问题 2,受到 3D 动画制作的启发,采用了蒙皮效应来刻画重物形状,引入形状函数反映重物形状变化对水流
阻力的影响,建立了能适应不同情况的普适性模型;并从单个物体模型过渡到两个重物连接后的组件在水中耦合作
用过程,通过 Origin 作单个与两个物体的对比图,分析了压差阻力对两个物体耦合时的重要影响。
对问题 3,联系到实际工程中封堵溃口材料的具有多样化,从两个大类出发把材料归一化,分别把颗粒类和块
状类的材料近似看成模型中的实心方砖与四面体,从而提取出这两种类型材料,重点进行误差分析,并据分析结果,
提出了更为全面的正交试验方法,可使数据拟合精度不断提高。
对问题 4,基于流体的相似性原理,得出本题中小型模型试验满足的相似准则;根据流体相似即几何相似、运
动相似和动力相似分析了小型模型试验中主要相似条件,依此对未来需要进行的研究侧重点作了部分建议;另外,
利用相似性原理将实际问题缩尺,把缩尺后的工况应用于已建问题 1 模型中,确定模型参数,使实际问题得到解决。
关键词:封堵溃口 机理分析 普适性 压差阻力 误差分析 相似准则
参赛队号 10291003
队员姓名 孙田 陈苏 金丹丹
中山大学承办
参赛密码
(由组委会填写)
2
与封堵溃口有关的重物落水后运动过程的数学建模
一、问题重述
由于重物落水本身是一个复杂的数学物理问题,它涉及到空气,水,重物等多种
不同介质的耦合作用,且水流运动非常复杂,至今仍有一些水流现象无法从小型试验
得到,即小型试验的结论不能任意推广到实际真实情况。因此,本问题具有很强的研
究背景和实际应用价值。
根据上述分析,本文拟解决如下问题:
(1)、根据已有的资料数据,利用所学知识及相关参考资料,分析影响重物在水
中运动过程的因素;
(2)、建立具体单个重物在水中运动过程的数学模型:大实心方砖模型。并根据
小型试验数据及相关数学、物理方法,验证模型准确度和适用性;
(3)、建立包含各种影响因素,从而能够适应不同情况的重物水中运动过程的单
个物体水中运动过程数学模型;
(4)、通过机理分析,定性分析了两个重物连接后的组件在水中的运动过程,从
固-固耦合,流-固耦合入手深入到流-固-固耦合关系;
(5)、对建立的模型进行误差分析,通过模型参数调节优化模型效果,并根据修
改模型预测最有效触底位置。根据误差原因分析等对未来需要进行的试验和研究工作
提出了一些建议;
(6)、根据相似准则设计相关实验,对已建立模型进行推广和扩充。以达到理论-
实验-工程三者的互相验证。
3
二、问题分析
对上述问题重述中提出的各个问题,本文拟采用如下思路进行分析,从而解决问
题:
图
1
问题分析流程图
三、基本假设
(1)、重物入水后不考虑重物翻转的影响,即:重物入水后 x、y 方向迎水面积不
发生变化;
(2)、重物在同一稳定介质中阻力影响系数保持不变;
(3)、认为水平方向一旦速度达到水流速度,就不再增大速度,即作匀速运动;
(4)、建立重物落水模型时不考虑摄像头在水槽壁上折射对读数影响;
(5)、只考虑迎水面积上的摩阻力作用,忽略侧面粘滞阻力。
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4
四、符号约定
x、y 重物在落水过程中的横坐标、纵坐标,坐标系约定见 6.1 节说明;
物
重物的密度;
水的密度;
S 物体有效迎水面积;
yx
SS 、
分别为 x 方向的有效迎水面积、y 方向的有效迎水面积;
v
物体在水中相对运动速度;
x
v 、
y
v
物体在 x 轴方向、y 轴方向的绝对速度;
0
u 水流速度;
0
v
重物刚接触水表面时,竖向的初速度;
H 水槽深度;
cba 、、
分别为当重物迎水面的长度、宽度、垂直迎水面的厚度
V 重物的体积;
五、主要创新点
对问题(1)
在建立大实心方砖模型时,采用两阶段考虑的方式,对重物在水中的运动分成刚接
触水面至刚好完全浸入水中、重物刚好完全浸入水体至沉底两段进行分析。并鉴于对阻
力形式考虑的不同,得出一主一辅模型,相互补充;
对问题(2)
1、在问题(1)阻力描述的基础上,猜测阻力与速度并非简单的一次、两次方关系,
提出
R
kvF
的阻力描述方式;
2、联系实际分析,工程应用中投掷物形状多样,很难定量刻画,受到 3D 动画制作
的启发,采用了蒙皮效应来刻画重物形状,引入形状函数
)(s
来反映重物形状变化,
建立了能够适应不同情况的普适性模型;
对问题(3)
进行误差分析,并据分析结果,提出了更为全面的正交试验方法,可使数据拟合精
度不断提高。
对问题(4)
1、根据流体相似即几何相似、运动相似和动力相似分析了小型模型试验中主要相
似条件,依此对未来需要进行的研究侧重点作了部分建议;
2、合理简化实际溃口问题,充分利用已有模型试验数据及简化模型,方便求解实
际问题。
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