### 离散数学课后答案解析
#### 第1章习题解答概览
本章节主要涉及了离散数学的基本概念之一——命题逻辑的基础知识及其应用。通过一系列例题的解答，帮助学生理解和掌握命题的概念、命题的分类以及命题之间的逻辑关系等内容。
### 命题的定义与分类
**命题定义：** 在离散数学中，一个命题是指一个能够判断真假的陈述句。不是陈述句的句子不能被称为命题，例如疑问句、祈使句或感叹句。
**命题分类：**
- **简单命题：** 不包含其他命题的命题。
- **复合命题：** 由两个或多个简单命题通过逻辑联结词连接而成的命题。
#### 例题分析
**题目：** 确定下列哪些句子是命题，并进一步区分哪些是简单命题，哪些是复合命题。
**解答：**
- (1)、(2)、(8)、(9)、(10)、(14)、(15) 都是简单的陈述句，因此它们是简单命题。
- (6) 和 (7) 各自通过联结词“当且仅当”构成复合命题。
- (12) 通过联结词“或”构成复合命题。
- (13) 通过联结词“且”构成复合命题。
- (3) 为疑问句，(5) 为感叹句，(11) 为祈使句，因此它们都不是命题。
- (4) 虽然是陈述句，但由于其表示的判断结果不确定，故不是命题。
### 命题的真值
**命题真值：** 每个命题都有唯一的真值，即“真”或“假”。即使某些命题的真值目前未知，但它们的真值是客观存在且固定的。
**例题分析：**
- (1) \(p\) 是无理数，\(p\) 为真命题。
- (2) \(p\) 能被2整除，\(p\) 为假命题。
- (6) \(p \rightarrow q\)，其中 \(p\)：2是素数；\(q\)：三角形有三条边。由于 \(p\) 和 \(q\) 都是真的，因此 \(p \rightarrow q\) 也是真的。
- (7) \(p \rightarrow q\)，其中 \(p\)：雪是黑色的；\(q\)：太阳从东方升起。由于 \(p\) 为假命题，\(q\) 为真命题，因此 \(p \rightarrow q\) 为真命题。
- (8) \(p\)：2000年10月1日天气晴好。尽管当前不知道 \(p\) 的真假，但 \(p\) 的真值是确定的。
- (9) \(p\)：太阳系外的星球上的生物。\(p\) 的真值取决于实际情况，但它是确定的。
- (10) \(p\)：小李在宿舍里。\(p\) 的真值由具体情况决定，但它是确定的。
- (12) \(p \vee q\)，其中 \(p\)：4是偶数；\(q\)：4是奇数。由于 \(q\) 为假命题，所以 \(p \vee q\) 为真命题。
- (13) \(p \vee q\)，其中 \(p\)：4是偶数；\(q\)：4是奇数。由于 \(q\) 为假命题，所以 \(p \vee q\) 为真命题。
- (14) \(p\)：李明与王华是同学，真值由具体情况决定。
- (15) \(p\)：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。
### 复合命题的逻辑运算
**例题分析：**
- 定义：\(\forall x (x^2 + 3 = 6)\) 表示为 \(p\)；\(\forall y (y^2 + 4 = 2)\) 表示为 \(q\)。
- (1) \(q \rightarrow p\) 为假命题。
- (2) \(\neg p \rightarrow q\) 为假命题。
- (3) \(q \rightarrow \neg p\) 为假命题。
- (4) \(\neg q \rightarrow p\) 为真命题。
- (5) \(q \leftrightarrow p\) 为假命题。
- (6) \(\neg q \leftrightarrow p\) 为假命题。
- (7) \(q \rightarrow \neg p\) 为假命题。
- (8) \(q \leftrightarrow \neg p\) 为假命题。
这些例题展示了不同逻辑运算符的应用及其如何影响复合命题的真值。通过对这些例题的学习，学生可以更好地理解并掌握命题逻辑的基本概念和技巧。
