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一种具有多对称同质吸引子的四维混沌系统的超级多稳定性研究.docx
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一种具有多对称同质吸引子的四维混沌系统的超级多稳定性研究.docx
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1. 引 言
混沌是非线性动力学系统所具有的一类复杂动力学行为,它表现出确定性非线性系统
的内在随机性
[1]
。混沌由于其初始值敏感性和伪随机性
[2]
,已广泛用于电子工程
[3]
、信息工
程
[4]
、加密算法
[5,6]
、安全通信
[7,8]
和其他领域
[9-11]
。1963 年,美国气象学家洛伦兹
[12]
提出了
第 1 个混沌系统模型,它引起了科学界的广泛关注,之后又不断有新的混沌系统被发现。
1986 年,蔡少棠提出了著名的蔡氏电路
[13,14]
,首次实现了混沌与电路之间的结合,是最简
单的混沌振荡电路之一。2002 年 Lü 等人
[15]
提出了一种将 Lorenz 和 Chen 的系统连接起来
的过渡混沌系统。
2008 年,惠普实验室第 1 次制备出忆阻器
[16]
,这引起了忆阻器研究和应用的热潮。
由于忆阻器的非线性,它被用于构造新型的混沌系统。2008 年,Itoh 和 Chua
[17]
共同提出
了基于忆阻器的蔡氏混沌电路,其动力学分析结果表明替换之后的电路的动力学行为与典
型的蔡氏电路相比更加复杂。2010 年,Bao 等人
[18]
采用光滑磁控忆阻和一个负电导的组合
替换蔡氏二极管,提出了基于忆阻的蔡氏混沌电路,重点研究了电路参数和初始条件对忆
阻混沌电路动力学特性的影响。2016 年,闵富红等人
[19]
提出一种基于双曲正弦函数的新型
磁控忆阻器模型,将其用于构造新型忆阻混沌系统,并利用新系统混沌序列对图像进行加
密。
最近几年,多稳定性
[20-25]
与超级多稳定性
[26-33]
成为人们的研究热点。多稳定性是许多
非线性系统中一种常见的现象,它是指在相同的系统参数设置下,多种吸引子共存的现
象。当在相同的系统参数设置下,无限多吸引子共存的现象就称为超级多稳定性。2019
年,Wu 等人
[23]
通过将两个正弦非线性引入简单的 3 维线性动力系统中,提出了一种新颖
而简单的 3 维混沌系统。新系统具有 9 个平衡点,可以产生多种不同类型的共存吸引子,
也称为多稳定性。2020 年,文献[24]提出一个没有线性项的 3 维混沌系统,并对该系统进
行了动力学分析,发现该系统可以产生周期轨、混沌振荡、周期窗和共存吸引子等现象。
2019 年,Ahmadi 等人
[31]
提出了一种具有超级多稳定性的 5 维混沌系统。该系统具有曲线
型的线平衡点,可以产生无限多共存吸引子。2020 年,Gong 等人
[32]
在 Sprott C 系统中引
入线性状态反馈控制器,提出了一种具有无限多个平衡点的 4 维混沌系统。尽管新的 4D
混沌系统只有两个非线性项,但是它具有丰富的动力学特性,例如隐藏吸引子和共存吸引
子。同年,文献[33]将忆阻器引入一个 3 维混沌系统中,设计了一个具有离散分岔图的 4
维忆阻混沌系统。该系统不仅具有异质多稳定性,也具有同质多稳定性,同时还具有超级
多稳定性。一般使用忆阻器设计的混沌系统都会具有线平衡点,但是本文没有使用忆阻器
也使得设计的混沌系统同样具有线平衡点,达到了和使用忆阻器进行设计一样的效果。
异质多稳定性是指混沌系统产生不同形状的吸引子,而同质多稳定性是指系统可以产
生幅度、频率或空间位置不同,但形状相同的吸引子。现有的研究混沌系统多稳定性的文
献几乎都是讨论混沌系统的异质多稳定性,而同质多稳定性却鲜有报道。在此基础上,本
文提出一种具有无限多对称的同质吸引子的 4 维混沌系统。该系统具有很大的初值变化范
围和除零点外恒定的 Lyapunov 指数谱,不同于文献[33],该系统还具有中心对称的离散分
岔图。
本文的其余部分安排如下。在第 2 节,介绍新系统的无量纲方程,并对系统进行基本
的动力学分析,包括对称性、耗散性、平衡点和稳定性。在第 3 节,利用相轨图、
Lyapunov 指数和庞加莱截面分析了该系统混沌吸引子的动力学行为。在第 4 节,通过分岔
图和 Lyapunov 指数谱研究了混沌系统的超级多稳定性,分析结果表明该系统具有无限多
对称的同质吸引子和中心对称的离散分岔图。在第 5 节,对新系统进行电路仿真实现并给
出仿真结果,其验证了数值仿真的正确性。最后,对本文进行了总结。
2. 4 维混沌系统模型
2003 年,Liu 等人
[34]
提出了一个具有 5 个平衡点的 3 维混沌系统,可以产生一个 4
翼混沌吸引子。然而,在 2004 年,Liu 等人
[35]
证明了它产生的仅仅是两个共存的位置排
列十分紧密的 2 翼吸引子,即上述 Liu 系统是个伪 4 翼混沌系统。它属于广义 Lorenz 系
统,其无量纲方程如式(1)所示。
$$ \left. \begin{aligned} & {\dot x = ax - byz} \\ & {\dot y = - cy + xz} \\ & {\dot z = - dz + xy} \end{aligned} \right\}
$$
(1)
其中,$a$, $b$, $c$和$d$都是系统参数,$x$, $y$和$z$是状态变量。
在此基础上,本文提出一种新的 4 维混沌系统,其方程如式(2)所示。
$$ \left. \begin{aligned} & \dot x = ax - byz \\ & \dot y = - cy + xz + ew \\ & \dot z = - dz + xy \\ & \dot w = fyz
\end{aligned} \right\} $$
(2)
其中,$e$和$f$是新加的系统参数,$w$是状态变量。
2.1 对称性
对称性广泛存在于具有偶数个吸引子的混沌系统中。如果进行变换
$(x,y,z,w)$$ \leftrightarrow $$( - x, - y,z, - w)$,忆阻混沌系统式(2)是不变的,这表明系统式
(2)在状态空间中关于$z$轴对称。
2.2 平衡点和稳定性
让式(2)左边都等于 0,可以得到该系统具有一个线平衡点
$$ O=\left\{\left(x,y,z,w\right)|x=0,y=\frac{e}{c}k,z=0,w=k\right\}$$
(3)
其中,$k$是任意常数。
将系统式(2)在原点 O 线性化,可以得到其雅可比矩阵:
$${{\boldsymbol{J}}_o} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&0&{ - bek/c}&0 \\ 0&{ - c}&0&e \\ {ek/c}&0&{ -
d}&0 \\ 0&0&{efk/c}&0 \end{array}} \right)$$
(4)
根据式(4),可以得到系统的特征方程如式(5)所示
$$\lambda \left( {\lambda + c} \right)({a_0}{\lambda ^2} + {a_1}\lambda + {a_2}) = 0$$
(5)
其中,${a_0} = 1$, ${a_1} = d - a$, ${a_2} = b{(ek/c)^2} - ad$,并且取$c > 0$。式(5)
括号中的二次多项式方程的系数均为非零实常数,根据劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)稳定
条件,可以得到,当初始值满足$|k| > (c/e) $$ \sqrt {ad/b}$时,系统从这个稳定区域出发的
解是渐进稳定的。反之,当初始值满足条件$|k| < (c/e)\sqrt {ad/b} $时,系统由该不稳定区
域出发的解是不稳定的,其运行轨迹趋于极限环或者混沌轨或者无穷发散。
2.3 耗散性
系统式(2)的耗散性由式(6)表示
$$ \nabla \cdot {\rm{V}} = \frac{{\partial \dot x}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot y}}{{\partial y}} + \frac{{\partial
\dot z}}{{\partial z}} + \frac{{\partial \dot w}}{{\partial w}} = a - c - d $$
(6)
当$a$,$c$和$d$满足条件$a - c - d < 0$时,该系统是耗散的。这意味着相空间的体积
将以指数${{\rm{e}}^{ - (a - c - d)t}}$的形式收缩为 0,并且系统的所有轨迹都被压缩为 0。
3. 混沌系统的动力学行为分析
3.1 相轨图和 Lyapunov 指数
在这一节通过 Lyapunov 指数和相轨图的方法对系统式(2)进行进一步的研究。当参数
$a = 4.8$, $b = 5$, $c = 21.3$, $d = 5$, $e = 0.01$, $f = 0.1$时,系统式(2)可以产生如图 1 所
示的混沌吸引子。
图 1 混沌吸引子的相轨图
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