CONTENTS 3
4 Matrices 46
4.1 Matrix Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Eigenvectors and Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Summary of MATLAB commands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Discrete Models 60
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Linear Dynamical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 State, Age, and Stage Matrix Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4 Markov Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5 Higher Order and Nonlinear Discrete Dynamical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6 Continuous Models 81
6.1 Modeling with Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.1.1 Euler’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.2 Improved Euler’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.1.3 Qualitative Analysis of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2 Systems of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3 Qualitative Analysis of Systems of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.4 Linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.5 Nonlinear Systems of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7 Stochastic Modeling 113
7.1 Discrete Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.2 Continuous Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.3 Properties of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.4 Monte Carlo Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.5 The Binomial Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.6 The Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.7 Waiting Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.7.1 The Poisson Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.7.2 The Exponential Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.7.3 Sampling from the Exponential and Poisson Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.8 Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.8.1 Poisson Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.8.2 Birth Death Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A In-class Activities and Exercises 145
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