一个积分不等式的九种证明方法_王雪臣.pdf
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2020-07-26
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一个积分不等式的九种证明方法
＊
王雪臣
(哈尔 滨工业大学(威海) 山东威海 264209)
摘 要 积分不等式是微积分学中一类常见而又 重要的 不等式 , 其证明方法多种多样.分别用定
积分的定义 、积分变限函数 、积分第一 、第二中值定理 、微分中值定理等九种方法证明积分不等式
∫
1
0
x f(x)d x ≥
1
2∫
1
0
f(x)d x
(其中 f(x)在[ 0 , 1] 上连续而且单调递增), 借此介绍证明积分不等式的几种常用的方法 .
关键词 积分不等式;积分中值定理 ;微分中值定理 ;单调性. 中图分类号 O1 72 .2
本文将使用多种方法证明以下不等式 :设 f(x)在[ 0 ,1] 上连续而且单调递增 ,则
∫
1
0
x f (x)dx ≥
1
2∫
1
0
f(x)dx . (＊)
1 利用定积分的定义
方法一 将区间[ 0 ,1] 等分成 2n 份 , 由定积分的定义知
∫
1
0
x f (x)dx -
1
2
∫
1
0
f(x)d x =lim
n※∞
∑
2n
i =1
i
2n
-
1
2
f(
i
2n
)
1
2n
=
lim
n ※∞
1
2n
∑
n
i =1
i
2n
-
1
2
f(
i
2n
)+
∑
2 n
i =n+1
i
2n
-
1
2
f(
i
2n
) ≥
lim
n ※∞
1
2n
∑
n
i =1
i
2n
-
1
2
f(
1
2
)+
∑
2n
i =n +1
i
2n
-
1
2
f(
1
2
) =
lim
n ※∞
f(
1
2
)
∑
2n
i =1
i
2n
-
1
2
1
2n
=f (
1
2
)
∫
1
0
(x -
1
2
)dx =0 ,
从而有(＊)式成立.
2 利用积分变限函数的单调性
方法二 令 F(x)=
∫
x
0
tf (t)dt -
x
2∫
x
0
f(t)dt , 因为
F′(x)=
1
2∫
x
0
[ f(x)-f(t)] dt ≥0 .
可知 F(x)单调递增 ,所以 F(1)≥F(0),从而(＊)式成立 .
方法三 令 F(x)=
∫
1
x
tf (t)dt -
x
2∫
1
x
f (t)dt ,类似可证 .
3 利用积分中值定理
方法四 由积分第一中值定理知
[ 1]
,存在 ξ1 ∈ (0 ,
1
2
),ξ2 ∈ (
1
2
,1),使
∫
1
0
(x -
1
2
)f(x)dx =
∫
1
2
0
(x -
1
2
)f (x)dx +
∫
1
1
2
(x -
1
2
)f(x)dx =
11
V ol .12 , N o .6
N ov ., 2 009
高等数学研究
ST U DIES IN CO L L EG E M A T H EM A T IC S
＊
收稿日期 :2008 -09 -14 , 修改日期 :2009 -07 -11 .
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